Últimamente he estado releyendo algo de “Where Mathematics From” de Lakoff y Nunez, así que esto está en mi mente. Para la aritmética básica, creo que el modelo al que se dirige mi cabeza principalmente es lo que yo llamaría “apilamiento” a lo largo de una línea marcada. Los números (números reales) están asociados con segmentos o barras (posiblemente dirigidos, si los números son negativos). Estos parecen descansar sobre una recta numérica marcada.
Añadir es apilar barras. Teniendo en cuenta 112 + 39, imagino 112 sentado en la línea en algún lugar en el extremo inferior del segmento entre 100 y 200, más precisamente alrededor de 1/10 del camino; y 39 es una barra de longitud un poco menor de 40, apilada a la derecha de donde está el 112; Lograr un resultado cercano a 150. Ese parece ser mi cuadro conceptual inmediato. (Se tarda mucho más en leerlo que en pensarlo). El cálculo y la verificación reales suelen ser una serie de operaciones un tanto separadas que son oportunistas: depende de los números. Hay muchas técnicas diferentes, que a menudo ocurren rápidamente sin deliberación; Desenvolver la base conceptual de todos esos sería un proyecto.
La división es principalmente por el modelo de “medición”. Teniendo en cuenta que 112/39 me haría pensar en una barra o trozo (“unidad de medida”) de un tamaño de alrededor de 40, y en cuántos de ellos (podría ser fraccional) cabrían en el 112. Este último está cerca y es menos de 120, sé que el resultado es algo menos 3. Pero algo así como 48/3 me inclina al modelo de “división” (también llamado “partitivo”), donde pienso que 48 (una barra) se divide en tres partes, que Bien sabido sin un pensamiento me deja con 16 en cada parte. Para cantidades grandes y pequeñas que a menudo aparecen en la ciencia, esto está acompañado por diez poderes de “contabilidad”.
La multiplicación parece más variada. La multiplicación por un número entre 1 y 10 se presta a la aproximación como multiplicación repetida por un número de un solo dígito, por lo que las barras de apilamiento. La multiplicación por algo como pi o raíz cuadrada de 2 me hace pensar en “estiramiento”, una extensión importante de la idea de apilar. Pero 39 * 112 tiene mi mente yendo a las multiplicaciones de un solo dígito cuyos resultados (4 veces 1) aparecen inmediatamente, junto con la contabilidad de los poderes de diez (1 más 2); en este caso, dándome 4000. Aunque podría pensar 40 * 100 = 4000 inmediatamente, y un momento más pensar que está bastante por debajo de la marca porque hay otros 40 * 10 = 400 más o menos para agregar. De todos modos, creo que mi visual con esto es solo la notación del valor de lugar en la base 10, obviamente un gran invento para los humanos, aparentemente de la India, que no tiene más de 2000 años. (Cuando hay muchos dígitos, voy por los poderes de diez libros de contabilidad).
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Todo esto creo que es convencional y en línea con lo que apunta la educación matemática en la escuela primaria. Cualquier habilidad que posea está ciertamente asociada a muchos hechos: ambas pequeñas técnicas de cálculo (por ejemplo, la división por 5 es la multiplicación por 10 con la división por 2) y los “hechos numéricos” (como 48 es 3 * 16 = 3 * 2 * 2 * 2 * 2): fácilmente disponible en mi cabeza de uso frecuente. Las visualizaciones no son suficientes para un trabajo preciso. Conmigo, siempre parecen estar trabajando lado a lado (ya sea que los consiga o no conscientemente) con algoritmos suficientes para el propósito en cuestión.
Parte de eso lo reportaría como un proceso consciente deliberado. Parte de eso mi cerebro se presenta de inmediato a la conciencia (una “búsqueda” rápida y exitosa: 48 tiene tres 16s en ella). Solo partes de la mayoría de los cálculos simplemente “vienen” a mí. Incluso si una respuesta, o un resultado parcial, simplemente “viene” a mí, hay una tendencia inmediata a verificar la coherencia con un cálculo o una imagen aproximada o diferente en mi cabeza. Esto parece a menudo involuntario; hay otras formas de ver el cálculo y es como si mi mente comenzara a procesar varias vistas al mismo tiempo, por lo que una vista que no llegó a primer plano de inmediato estará lista para interferir como un cheque después de que haya otra. Más concientemente terminado.
Nunca visualizo un problema aritmético como un problema numérico escrito en un papel sobre el cual operaría.
Todo lo que tiene que ver con la aritmética es solo el comienzo de la pregunta de cómo alguien “ve” los conceptos matemáticos en su cabeza. Soy matemático y profesor de matemáticas, por lo que mi mente, independientemente de sus habilidades particulares, ha pasado mucho tiempo con cosas matemáticas.