Aquí hay una explicación de la Conjetura de Poincaré que escribí hace un tiempo, editada ligeramente. Este es uno de los siete problemas del Premio Millennium, que cuentan con recompensas de $ 1,000,000 para sus soluciones.
I. Espacios euclidianos.
Supongo que ha oído hablar de algunos de los siguientes conceptos: puntos, líneas, planos, espacio. Estos son los “espacios euclidianos” en 0 dimensiones, 1 dimensión, 2 dimensiones y 3 dimensiones respectivamente. Qué significa eso?
La dimensión de un espacio es la menor cantidad de direcciones que necesita para llegar a cualquier lugar. En un avión, puede ir a cualquier lugar yendo un poco en dirección este-oeste y luego un poco de norte a sur. En el espacio necesitas agregar arriba-abajo. En una línea, solo necesitas este-oeste. En un punto, bueno, no necesitas nada en absoluto.
¿Bueno? Bueno. Entonces, ¿por qué son euclidianos? Eso solo significa que no son curvas y no tienen agujeros. Sin curvas significa que si caminas en una línea nunca volverás a casa. Una esfera es curva. Si caminas en una fila, regresarás a casa. Sin agujeros significa que cualquier camino de ida y vuelta que tome puede reducirse progresivamente hasta convertirse en un punto. ¿Por qué? Bueno, si rompió un agujero a través de un trozo de papel e hizo un recorrido circular alrededor de él, podría reducirlo y reducirlo todo lo que quisiera, pero no sería capaz de hacer un punto sin saltar sobre el agujero.
Y si puede envolver su cabeza alrededor de ella (e incluso si no puede) hay un espacio euclidiano de 4 dimensiones, e incluso uno de 5 dimensiones. Y 6, 7, y todos esos otros números también.
Guay. Me alegra que todavía estés conmigo.
II. Colectores
Así que vamos a hablar de múltiples ahora. No te preocupes, ¡no son tan aterradores como suenan! De hecho, vives en uno. Así que no te asustes demasiado.
Una variedad es algo que “se parece” al espacio euclidiano donde quiera que se encuentre en él. Es decir, si tomas tu colector y te metes en Google Street View en cualquier punto del colector, pensarías que si no supieras mejor que estabas en un espacio euclidiano. No te preocupes, ¡ya vienen ejemplos!
Te dije que vivías en una variedad. ¡Tú lo haces! Vivimos en una esfera. En cualquier punto de una esfera, si mirara a su alrededor, pensaría que estaba en un plano, ¡que es un espacio euclidiano bidimensional! Esto hace que una esfera sea un 2-múltiple (el número es el espacio euclidiano dimensional en el que parece que estamos). Es posible que te preocupe que la curvatura de la Tierra lo desaparezca, pero a los topólogos en realidad no les importan los ángulos de las cosas. Un cubo también es una variedad, porque incluso en la esquina, parece que estamos en un plano (aunque uno bastante doblado). De hecho, los topólogos consideran que las esferas y los cubos tienen la misma forma.
¿Qué es un ejemplo de algo que no es múltiple? Una figura 8 no es una variedad. En la mayoría de los puntos (¡todos menos uno en realidad!) Parece que estamos en un espacio euclidiano unidimensional (es decir, una línea). Pero si te paras en el punto donde se encuentran los dos bucles, sabrías que algo raro está pasando. Puedes moverte exactamente en cuatro direcciones, lo cual no es como ningún espacio euclidiano del que hayamos oído hablar. Una forma de muñeco de nieve (esferas pegadas entre sí) tampoco es una variedad, porque en los puntos de pegado vemos dos planos de libertad.
Otra cosa que no es una variedad, pero parece que podría ser, es una pelota. Una bola es diferente de una esfera (una esfera es una variedad, recuerde) en que está rellena. La esfera es solo la superficie. En la mayoría de los puntos de una bola, parece que estamos en el espacio euclidiano tridimensional. Pero en cualquier punto de la superficie, tenemos un hemisferio de direcciones en las que podemos ir, y la otra mitad está fuera de los límites. No suena como ningún espacio euclidiano del que haya oído hablar. Por la misma razón, un disco (círculo rellenado) tampoco es una variedad.
Notemos también que los espacios euclidianos son múltiples. En cualquier punto, se ven como espacios euclidianos, porque, bueno, son espacios euclidianos. Guay.
¡Bonito! Estas múltiples cosas están bastante limpias, ¿eh? ¿Y ahora qué?
¿Dices que quieres encontrar y enumerar todas las variedades en existencia?
Está bien, bien por mí.
III. Clasificación de los colectores conectados
Vamos a empezar con 0-colectores. Hmm, bueno, hay un punto … ¿Algo más? De acuerdo, si eres un aleck inteligente, podrías decir que dos puntos distintos también funcionan. Y lo hace; en cualquier punto (los dos), si estás sentado allí, se ve muy bien como si estuvieras en un viejo y solitario punto. Así que sí, dos puntos, o tres puntos, te dan una idea: todos estos son 0-colectores. Y eso es. No se puede hacer mucho en 0 dimensiones.
Bien, ¿qué hay de 1-colectores? Bueno, hay una línea. Y dos líneas. Y así. Esto se está volviendo bastante molesto, así que digamos que solo estamos viendo los distribuidores conectados, es decir, los distribuidores a los que puedes viajar desde cualquier punto a cualquier otro punto sin saltar del distribuidor en cualquier lugar. Así que tenemos una línea. ¿Qué más? Si te sientes particularmente listo hoy, puedes notar que un círculo es un 1-colector. En cualquier punto, parece que estás en una línea. ¿Qué tal un cuadrado? ¿O un hexágono? Recuerda, a los topólogos no les importan los ángulos. Cuadrados, hexágonos, círculos: todas tienen la misma forma que un topólogo, porque puedes moldearlas una a otra sin rasgar ni pegar nada. No son lo mismo que una figura 8, porque tendría que pasar algo de pegado o rasgadura para pasar de una a otra. ¿Bueno? Bueno. Y eso es. Hay dos variedades distintas 1: una línea y un círculo.
Listo para 2-colectores? Bueno, ahí está el avión. Y ya dijimos que hay una esfera (y cubos, yada yada, todas de la misma forma). ¿Algo más? ¿No? ¡De acuerdo, avanzando!
Espere. ¿Qué pasa con una dona? Solo la superficie, no el interior. Definitivamente es un 2-colector; se ve como un avión dondequiera que estés parado en él. ¿Pero puedes moldearlo en una esfera sin rasgar o pegar? No lo creo ¿Cómo pudiste librarte de ese agujero?
Bien, entonces tenemos el avión, la esfera, el toro (donut), y eso es todo.
¡Es una broma! Dos orificios hacen un doble toro. Eso también es diferente de todo lo que hemos visto. Triple toro, cuádruple toro, y sí, mucho más toros. ¡Bueno! ¿Hemos terminado ahora?
No Hay algo más, llamado el plano proyectivo real, que es un 2-múltiple, pero no puede existir en tres dimensiones. Al igual que un círculo solo puede existir en un mínimo de dos dimensiones, el plano proyectivo real solo existe en un mínimo de cuatro dimensiones. Así que no podremos imaginarlo muy bien. ¡Lo siento! Si te da alguna idea, es la forma que obtienes cuando pegas el borde de un disco al borde de una tira de Möbius. Si empiezas a hacer eso mentalmente, te darás cuenta de que te encuentras con problemas bastante rápido, restringiéndote a tres dimensiones y todo.
Sheesh! Bien bien. Tenemos la esfera, tenemos toda una familia de toros, y tenemos esta loca cosa realmente proyectiva del avión. ¿Terminamos?
Er … no. Al igual que un toro doble es la suma conectada de dos toros (sí, bueno, no te lo dije antes, pero ahora lo sabes), puedes hacer la suma conectada de los planos proyectivos reales para obtener una familia infinita de esas cosas. .
¡Bien vale! ¿Ya terminamos?
Sí. Pero ves lo rápido que este problema de clasificación de variedades se volvió ridículamente difícil, ¿verdad? Solo llegamos a 2-manifolds, y es probable que usted ya tenga dificultades para imaginar que los múltiples que enumeramos son todos. Pero se ha hecho.
IV. La conjetura de Poincaré
Entonces, ¿simplemente te duele positivamente clasificar 3-múltiples?
Yo tampoco. Es dificil. Es realmente muy difícil. Más allá del espacio 3 (el espacio euclidiano tridimensional), incluso el 3-múltiple más simple (la hiperesfera, también conocida como 3 esferas) necesita cuatro dimensiones para existir. Así que no lo hagamos. Hará que me duela el cerebro.
Puede comprender cómo clasificar los factores múltiples podría llevar a uno de los siete problemas abiertos más grandes en matemáticas. Pero lo que tal vez no aprecies es lo terrible que somos para clasificar las variedades. La conjetura de Poincaré no es una lista de todos los múltiples. Se trata de 3-colectores. De hecho, se trata de 3 variedades realmente muy simples. De hecho, esto es lo que dice:
El único 3-finite finito sin ningún agujero es el 3-esfera.
Ese. Ese es el problema del millón de dólares. Ese es el teorema que los matemáticos tuvieron poco menos de un siglo para demostrar. Así que ahora tal vez nos damos cuenta de lo difícil que es esto.
Este es el único problema de premio del milenio resuelto. Fue comprobado en 2002 por Grigori Perelman, quien se negó a aceptar el premio del millón de dólares (así como la medalla Fields que se le ofreció para esta prueba). La prueba de esto, por supuesto, ni siquiera se acerca a la finalización de la búsqueda de clasificaciones múltiples. De hecho, la conjetura generalizada de Poincaré aún no está completamente resuelta:
El único n-distribuidor finito sin ningún agujero es la n-esfera.
No solo no está resuelto, ni siquiera es una pregunta válida sin aclaración. La respuesta depende de algunas citas de miedo que usé hace poco en esta explicación. Desplazarse hacia arriba. Las encontrarás.
Sí. Justo allí, al comienzo de la sección II. Dije “parece” en mi definición de múltiples. Obviamente, los matemáticos son más cuidadosos que eso, y existen tres definiciones diferentes de “apariencia” que nos dan tres definiciones de variedades, que se denominan variedades topológicas, variedades diferenciables y variedades lineales por partes.
La conjetura original de Poincaré (dimensión tres) es la misma para las tres definiciones. Dos de cada tres son de valor de verdad desconocido en la dimensión cuatro. Se sabe que uno es falso en la dimensión siete.
Así que sí. Es posible que hayamos probado la conjetura de Poincaré, pero aún nos queda un largo camino por recorrer para clasificar los factores múltiples.