-: Identidad de Euler: e ^ iπ + 1 = 0 —— Soneto de Shakespeare en matemáticas: –
La identidad de Euler es una igualdad encontrada en las matemáticas que se ha comparado con un soneto de Shakespeare y que a menudo se describe como “la ecuación más bella” .
El profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford, Keith Devlin , dijo: “como un soneto de Shakespeare que captura la esencia misma del amor, o una pintura que resalta la belleza de la forma humana que es mucho más que la piel, la ecuación de Euler se extiende hasta el profundidades de la existencia “.
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El fallecido gran físico Richard Feynman (padre de la electrodinámica cuántica) solía abordar la identidad de Euler como “nuestra joya” y “la fórmula más notable de las matemáticas” en sus conferencias.
En una entrevista con la BBC, el profesor David Percy, del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones, dijo que la identidad de Euler era “un verdadero clásico y no puedes hacer nada mejor que eso … Es simple de ver y, sin embargo, increíblemente profunda, comprende los cinco Las constantes matemáticas más importantes ”.
Una historia sobre la existencia de “Dios”:
En el debate de Leonhard Euler y Pierre Laplace sobre la existencia de Dios arreglada por Catalina II. Euler, quien tuvo que hablar primero, se adelantó, escribió en la pizarra ” e ^ iπ + 1 = 0 “, y declaró: “Por lo tanto, hay Dios” . Así se terminó el debate. Las objeciones no se habían seguido porque es realmente difícil dar otra explicación al hecho de que una cantidad imaginaria y dos números trascendentales se pueden combinar en una proporción tan simple y hermosa.
En las décadas transcurridas desde entonces, nuestro conocimiento de los fundamentos matemáticos del universo se ha incrementado considerablemente. Esta idea se expresó en las palabras de Paul Dirac , quien recibió junto con Erwin Schrodinger el Premio Nobel en 1933 por la investigación en el campo de la electrodinámica cuántica y la teoría cuántica de la gravitación:
“… El hecho de que las leyes físicas fundamentales están descritas por las teorías matemáticas de la mayor belleza y poder, que requieren un conocimiento matemático del más alto nivel, parece ser la propiedad más fundamental de la naturaleza …”
¿Qué hace que la identidad de Euler sea tan hermosa?
Las cinco constantes que figuran en esta identidad son:
El número 0.
El número 1.
El número π , un número irracional (con dígitos interminables) que es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Es aproximadamente 3.14159 …
El número e , también un número irracional. Es la base de los logaritmos naturales que surge naturalmente a través del estudio del interés compuesto y el cálculo. El número e impregna las matemáticas, aparentemente aparentemente de la nada en un gran número de ecuaciones importantes. Es aproximadamente 2.71828….
El número i , definido como la raíz cuadrada de uno negativo: √ (-1). El más fundamental de los números imaginarios, llamado así porque, en realidad, ningún número puede multiplicarse por sí mismo para producir un número negativo (y, por lo tanto, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales). Pero en matemáticas, hay muchas situaciones en las que uno se ve obligado a sacar la raíz cuadrada de un negativo. Por lo tanto, la letra i se usa como una especie de suplente para marcar los lugares donde se hizo esto.
Esta ecuación se considera sorprendente porque parece establecer una relación entre tres sujetos aparentemente no relacionados.
“E” se originó a partir del estudio del interés compuesto; “Π” de Geometría y Trigonometría; y “i” se “inventó” para ayudar a resolver ecuaciones con números negativos.
Interés compuesto, trigonometría y números imaginarios! La pregunta que ha intrigado a los matemáticos y físicos desde que Euler publicó por primera vez su famosa fórmula en 1748, es: “¿Por qué, en el nombre de Dios, estas áreas (aparentemente no relacionadas) de las matemáticas encajan tan bien en esta hermosa ecuación?”
La identidad de Euler es una ecuación sobre las constantes π y e . Ambos son cantidades “trascendentales” ; en forma decimal, sus dígitos se agrupan en el infinito. Y ambos son ubicuos en las leyes científicas. Pero parecen provenir de diferentes reinos: π (3.14159 …) gobierna la perfecta Simetría y el cierre del Círculo; Está en las órbitas planetarias, la interminable subida y bajada de las ondas de luz. e (2.71828…) es la base del crecimiento exponencial, la aceleración de la trayectoria de escape inherente al interés compuesto, la fisión nuclear, la ley de Moore. Se utiliza para modelar todo lo que crece.
Lo que mostró Euler es que π y e están profundamente relacionados , conectados en una dimensión perpendicular al mundo de las cosas reales: un lugar medido en unidades de i, la raíz cuadrada de -1, que por supuesto no existe … existe. Los matemáticos lo llaman un número imaginario. Estos diagramas son metáforas visuales. Imagina una gráfica con números reales en el eje horizontal e imaginarios en la vertical. Función exponencial, f (x) = e ^ x , normalmente se grafica como una curva ascendente de swooping: el paradigma del progreso. Pero ponga i allí, mostró Euler, y e ^ ix en cambio traza un círculo alrededor del origen: una rueda interminable de Samsara que intercepta la Realidad en –1 y +1 . Agregue otro eje para el tiempo y es una hélice que serpentea hacia el futuro; visto desde el lado, esa hélice es una onda sinusoidal oscilante. El resto es fácil: tome esa función f (x) = e ^ ix, establezca x = π, y obtendrá e ^ iπ = -1. Reorganiza los términos y tienes la famosa identidad: e ^ iπ + 1 = 0.
También puedes llevar esto más lejos. Si escribes esa función en una forma más general pero igual de simple como f (x) = e ^ (zx) , donde z = (a + bi) , lo que obtienes ya no es un círculo sino una espiral logarítmica, que combina rotación y crecimiento, ahora ambos al mismo tiempo. Estas espirales gráciles también se encuentran en todas partes en la Naturaleza, desde los espirales en un caparazón de nautilus hasta los brazos de galaxias. Y están relacionados, a su vez, con la proporción áurea (otro decimal infinito, 1.61803…) y la secuencia de números de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 , 89,…).
Pero lo más extraño de la fórmula de Euler, dado que se basa en números imaginarios, es que es muy útil en el mundo real .
La identidad de Euler proporciona muchas de esas instancias del mundo real que nos hacen creer en el hecho: nuestro mundo físico no tiene algunas propiedades matemáticas, sino que solo tiene propiedades matemáticas.
Albert Einstein se preguntó una vez: ¿Cómo es posible que a las matemáticas les vaya tan bien al explicar el universo como lo vemos?
Y la identidad de Euler es, de hecho, la ecuación más hermosa que explica: ¿Por qué las matemáticas funcionan tan bien en la ciencia?
Referencias:
http://www.academia.edu/217151/E…
http://www.livescience.com/51399…
http://www.researchgate.net/…/What_is_Special_in_Eulers_ide…
http://www.science4all.org/le-ng…