Cómo encontrar el dígito final de 2 ^ 79 sin usar una calculadora

Puede interpretar este problema de encontrar el último dígito como encontrar el resto cuando [math] 2 ^ {79} [/ math] está dividido por [math] 10. [/ Math]

Deje que [math] a \ pmod {b} [/ math] denote el resto de la división de [math] a [/ math] por [math] b. [/ Math]

Ahora observamos que,

[math] \ begin {align *} 2 ^ 1 \ pmod {10} & = 2 \\ 2 ^ 2 \ pmod {10} & = 4 \\ 2 ^ 3 \ pmod {10} & = 8 \\ 2 ^ 4 \ pmod {10} & = 6 \\ 2 ^ 5 \ pmod {10} & = 2 \\ 2 ^ 6 \ pmod {10} & = 4 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Podemos observar que los restos parecen circular después de intervalos de [math] 4 [/ math]. Aún así esto podría no convencerte.

Considere un número [math] n = 10A + B [/ math].

Ahora, [math] n \ equiv B \ pmod {10} \ tag * {} [/ math]

[math] 2n \ equiv 2B \ pmod {10} \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, si [math] 2 ^ {K} [/ math] termina en [math] 2 [/ math] entonces, [math] 2 ^ {K + 1} [/ math] termina en [math] 4. [/ Math ] Si termina en [math] 4 [/ math] o [math] 8 [/ math] o [math] 6 [/ math] entonces, [math] 2 ^ {K + 1} [/ math] termina en [ math] 8 [/ math], [math] 6 [/ math] o [math] 2 [/ math] respectivamente.

Por lo tanto, podemos estar seguros de que este patrón que continúa en los pasos [math] 4 [/ math] continuará.

Generalizar,

[math] \ begin {align *} 2 ^ {4k + 1} \ pmod {10} & = 2 \\ 2 ^ {4k + 2} \ pmod {10} & = 4 \\ 2 ^ {4k + 3} \ pmod {10} & = 8 \\ 2 ^ {4k + 4} \ pmod {10} & = 6 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]


Ahora, [math] 79 [/ math] tiene la forma [math] 4k + 3. [/ Math]

[math] \ por lo tanto 2 ^ {79} \ pmod {10} = 8 \ tag {!} [/ math]

[math] 2 ^ 1 = 2 [/ math]

[math] 2 ^ 2 = 4 [/ math]

[math] 2 ^ 3 = 8 [/ math]

[math] 2 ^ 4 = 16 [/ math]

[math] 2 ^ 5 = 32 [/ math]

[math] 2 ^ 6 = 64 [/ math]

[math] 2 ^ 7 = 128 [/ math]

[math] 2 ^ 8 = 256 [/ math]

¿Ves el patrón?

[math] 2 ^ x [/ math] calcula [math] x \ mod4 [/ math] el resultado en este caso 3, que sugeriría 8 y de hecho es así.

De acuerdo, te lo mostraré, eso lo sabemos.

[math] 2 ^ 1 = 2 [/ math]

[math] 2 ^ 2 = 4 [/ math]

[math] 2 ^ 3 = 8 [/ math]

[math] 2 ^ 4 = 16 [/ math]

[math] 2 ^ 5 = 32 [/ math]

[math] 2 ^ 6 = 64 [/ math]

[math] 2 ^ 7 = 128 [/ math]

[math] 2 ^ 8 = 256 [/ math]

[math] 2 ^ 9 = 512 [/ math]

Observado el último dígito, 2 – 4 – 8 – 6 – 2 – 4 – 8 – 6 – 2… ..

El último dígito se repite en cada ciclo de 4. Por lo tanto, dividimos 79 por 4, la respuesta es 19 resto 3. Por lo tanto, el último dígito es el tercero desde arriba, que es 8. Si no tiene resto, el último dígito es 6

Respuesta: 8

Podemos usar aritmética modular sin observar patrones. El último dígito se obtiene tomando el número módulo-10.

Ahora, [math] \ displaystyle 2 ^ 6 = 64 \ equiv 4 \ pmod {10} \\ [/ math]

[math] \ displaystyle 2 ^ {12} = (2 ^ 6) ^ 2 \\ [/ math]

[math] \ displaystyle \ equiv 4 ^ 2 \ pmod {10} \\ [/ math]

[math] \ displaystyle \ equiv 6 \ pmod {10} \\ [/ math]

[math] \ displaystyle 2 ^ {13} = 2 ^ {12} \ times 2 \\ [/ math]

[math] \ displaystyle \ equiv 6 \ times 2 \ pmod {10} \\ [/ math]

[math] \ displaystyle \ equiv 2 \ pmod {10} \\ [/ math]

[math] \ displaystyle 2 ^ {78} = (2 ^ {13}) ^ 6 \\ [/ math]

[math] \ displaystyle \ equiv 2 ^ 6 \ pmod {10} \\ [/ math]

[math] \ displaystyle \ equiv 4 \ pmod {10} \\ [/ math]

Finalmente,

[math] \ displaystyle 2 ^ {79} = 2 ^ {78} \ times 2 \\ [/ math]

[math] \ displaystyle \ equiv 4 \ times 2 \ pmod {10} \\ [/ math]

[math] \ displaystyle \ equiv 8 \ pmod {10} \\ [/ math]

es decir, el último dígito de [math] 2 ^ {79} [/ math] es 8.

En realidad es bastante fácil.

Si miras una tabla de poder de 2, verás esto:

Tenga en cuenta con la excepción de cero, toda la potencia par de dos extremos en 4 y 6 y las potencias impares de 2 terminan en 2 u 8.

Todas las potencias de 2 ^ n donde n es divisible por cuatro extremos en 6. ie 2 ^ 4 = 16, 2 ^ 8 = 256 etc.

Entonces 2 ^ 76 (divisible por 4) termina en 6 pero 2 ^ 78 termina en 4.

Por lo tanto, 2 ^ 79 = (2 ^ 78) x 2 para que el último dígito termine en 8.

y la confirmación:

Cuando tenemos 2 potencias de algo, obtenemos los dígitos de 2 o 4 u 8 o 6 en una secuencia.

Es decir

2 ^ 1 = 2

2 ^ 2 = 4

2 ^ 3 = 8

2 ^ 4 = 16

Y así………

Entonces, cuando dividimos 79 por 4, obtenemos el resto como 3 y declara que debe ser el tercer número en la serie anterior.

La respuesta debe ser 8.

Los primeros 10 poderes terminan con

2,4,8,6,2,4,8,6,2,4 (alcanzó una potencia de 10)

Los siguientes 10

8,6,2,4,8,6,2,4,8,6 (alcanzó el poder de 20)

El patrón de repetición es evidente en este punto.

Así que “2 a la potencia de 30” que pasa a ser “1073741824” termina con 4

2 a la potencia de los 40 extremos con 6.

50 con 4

60 con 6

70 con 4.

Aplicar parte del patrón de nuevo.

8,6,2,4,8,6,2,4,8.

Entonces, 2 a la potencia de 79 debería terminar con 8. De hecho, lo hace ………

“604,462,909,807,314,587,353,088”

2 ^ 1 = 2

2²4

2³ = 8

2 ^ 4 = 16↙↙

2 ^ 5 = 32

2 ^ 6 = 64

El “ciclo” para el “dígito final” FD es “2, 4,8, 6”

FD (2 ^ 4k) = 6

FD {2 ^ 79 = 2 ^ (80–1)} = “un término antes de 6” = 8

Trate de encontrar un patrón periódico del último dígito de 2 ^ n. Sus 2,4,8,6,2,4,8,6,…

Así que los últimos dígitos para 2 ^ 4n, 2 ^ 4n + 1, 2 ^ 4n + 2 y 2 ^ 4n + 3 son 6,2,4,8 resp.