Voy a enumerar algunos más que otros han descuidado. (Parece una tontería apegarse a 17.) Iré en orden cronológico. No soy topólogo, pero notarás un tema fuertemente topológico en mis ejemplos, lo que refleja un sentido en el que un tema principal de las matemáticas del siglo XX ha sido la ubicuidad de la aplicación de ideas y resultados de la topología a áreas de investigación matemática muy dispares. He seleccionado ejemplos que encajan entre sí para contar parte de una sola historia, que puede buscar usted mismo: google “Prueba de Deligne de las conjeturas de Weil”. Simplemente he enumerado algunos de los avances más importantes que ocurrieron a medida que se desarrolló esta historia.
0. La definición de Euler de la característica de Euler , para gráficos y poliedros, como V – E + F, donde V, E, F denotan, respectivamente, los números de vértices, aristas y caras. Esto fue probablemente en algún momento a fines del siglo XVIII.
1. La definición de continuidad , en algún momento entre principios y mediados del siglo XIX. Esto ayudó a resolver problemas fundamentales en el análisis real, pero quizás lo más importante fue que finalmente condujo a buenos fundamentos para la topología.
2, 3, 4. Henri Poincare introdujo tres avances en su artículo Analysis situs (1895), aunque es posible que estas ideas estuvieran “en el aire” y fueran conocidas por otros expertos en ese momento. Es decir, tenemos las definiciones del grupo fundamental , que es una medida de cuán “holey” es un espacio topológico, de los grupos de homología simplicial , que son otras medidas sutilmente diferentes del mismo tipo de cosas, y la prueba de Poincare dualidad La dualidad de Poincare es el primer ejemplo de un teorema de dualidad cohomológica , y básicamente proviene de generalizar la simple observación de que si tomas un poliedro y pones un punto en el medio de cada cara, puedes conectar estos puntos con bordes y obtienes un nuevo poliedro; tiene el mismo número de aristas que el original, pero los números de caras y vértices se intercambian. El resultado en sí mismo se expresa como una simetría en los números de Betti (dimensión de los grupos de homología) de una variedad compacta orientada. Un teorema en la línea de la dualidad de Poincare ahora se considera como una propiedad esencial de una “buena” teoría de la cohomología …
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5. Fundamentos para el álgebra abstracta . Definiciones abstractas de grupo, anillo, campo, etc., que reemplazan versiones “concretas” anteriores. (Por ejemplo, los grupos se pensaban anteriormente como grupos de permutación o grupos matriciales, pero el trabajo de Frobenius y otros se aclara al observar que un solo grupo abstracto puede tener muchas permutaciones y representaciones lineales interesantes. Del mismo modo, los campos numéricos se estudiaron originalmente [por ejemplo, por Gauss, Eisenstein, …] como subcampos de los números complejos, pero los resultados fundamentales en la teoría de números algebraicos [teorema de la unidad de Dirichlet, la finitud del grupo de clase ideal] provienen de la consideración de la colección de todas las incorporaciones complejas de un determinado campo de número abstracto).
6. Los desarrollos en el número 5 permitieron la axiomatización del álgebra homológica. Poincare y otros habían estudiado la homología simplicial, que se define en términos de cortar una forma en triángulos y generalizaciones dimensionales superiores de los mismos. Pero, por lo que entiendo, estos primeros pioneros en realidad no sabían sobre los grupos de homología, sino más bien solo sobre sus filas , los números de Betti. Esto se debe a que no tenían un lenguaje para hablar sobre los grupos, que surgen como subcuotantes de los términos en el complejo de la cadena simplicial , una cierta secuencia de grupos abelianos [matemática] G_i [/ matemática] junto con mapas de límites [matemática] \ parcial: G_i \ to G_ {i-1} [/ math] satisfaciendo la ecuación fundamental [math] \ partial ^ 2 = 0 [/ math]. (“… utinam intelligere possim rationacinationes pulcherrimas quae e propositione concisa DE QUADRATUM NIHILO EXAEQUARI fluunt”. .) Usando fundamentos abstractos de álgebra, se dio una definición general de los grupos de (co) homología de un complejo de (co) cadena, y pronto se reconoció que los complejos de cadena están en todas partes. De repente, había nuevos entornos en los que las ideas homológicas provenían de Se podría aplicar la topología.
7. La fórmula del rastro de Lefschetz (década de 1920). Dice que se pueden contar los puntos fijos de una transformación de un espacio topológico adecuadamente agradable, considerando solo (los rastros de) operadores lineales en la homología del espacio. En otras palabras, la homología permite transformar un problema de conteo difícil en topología en álgebra lineal directa .
8. La introducción de métodos cohomológicos para la aritmética . Esta es una historia interesante, y viene en dos hilos. El primer hilo es puramente teórico de números: gradualmente se dio cuenta de que muchas de las contorsiones complicadas en la teoría de campo de clase se pueden expresar en términos de la cohomología de los grupos, una consecuencia del # 6 anterior. El segundo hilo fue la audaz idea de Weil de que las propiedades aritméticas de (soluciones a) ecuaciones con coeficientes enteros (o coeficientes considerados módulo p primo) podrían estudiarse utilizando una teoría de cohomología adecuada (como en 6) y la fórmula de traza de Lefschetz (como en 7 ), aunque la aritmética aparece completamente fuera del dominio de la topología.
9, 10, 11. La definición de las gavillas y su cohomología (Leray), junto con la aplicación de estas ideas a la geometría algebraica (Serre) y la generalización de gran alcance de Grothendieck.