¿Cuántas personas hoy realmente entienden la prueba de Wiles del último teorema de Fermat?

Answer 1

1. No lo se (Esa es la respuesta más honesta que yo, o cualquier otra persona, podemos darte, así que puedes dejar de leer aquí).
2. La prueba no es solo de Wiles . Es por Andrew Wiles y Richard Taylor.
3. La pregunta está mal definida . La “comprensión verdadera” de una prueba se puede interpretar de muchas maneras. Muchas personas (incluido yo mismo) creen que realmente entiendes una prueba solo cuando parece tan transparente que puedes sostenerla, en su totalidad, en tu cabeza, y ver a través de ella como una bola de cristal (¿es esa una descripción vaga? Exactamente ). Una condición necesaria, pero insuficiente, para eso es que usted pueda explicárselo a cualquier estudiante graduado, a pedido, desde los primeros principios, sin preparación. Bajo esa definición estricta, no estoy totalmente convencido de que incluso Wiles o Taylor entiendan realmente su propia prueba. (En una escala intelectual completamente diferente, puedo asegurarle que mis propios trabajos de matemáticas contienen pruebas que realmente no entiendo).
4. Muy pocos Mi suposición (aleatoria, indefendible) sería que menos de 100 personas realmente han estudiado la prueba con suficiente detalle para poder afirmar que la entienden completamente . Muchas más personas conocen la prueba con cierto detalle, pero no están claros sobre muchos de los pasos o lemas más técnicos, en particular aquellos que se citan (en lugar de desarrollar) en los artículos de Wiles and Taylor’s Annals. Hay una enorme cantidad de antecedentes necesarios para leer esos documentos y comprenderlos completamente. En gran medida es una prueba de finales del siglo XX, e incluso las personas que se especializan en la teoría de números algebraicos o las curvas elípticas pueden tener un enfoque de investigación que está ligeramente desalineado con las teorías en las que confían Wiles y Taylor. Para dar solo un ejemplo aleatorio, la teoría de los espacios analíticos rígidos (el análogo p-adic del análisis complejo) es un tema especializado que ciertamente no es conocido en profundidad por muchos estudiantes de posgrado en etapa avanzada e incluso por muchos teóricos de los números, pero es un Aspecto muy, muy fundamental de la prueba de W&T.

Answer 2

Yo mismo no he analizado los detalles en particular, pero tengo una idea básica de cómo funciona la prueba de Wiles. Me imagino que la mayoría de los estudiantes de posgrado de etapa avanzada en la teoría de números algebraicos lo han estudiado con mayor profundidad, ya que también se necesita mucha de la maquinaria involucrada para seguir avanzando en el campo.

Answer 3

Cuántos son exactamente depende de qué tan estricto sea usted para contar que alguien lo “entiende realmente”, y no voy a tratar de ser preciso. Sin embargo, puedo darte algunas razones para aumentar o disminuir tu estimación.

Antes de enviar una prueba exitosa, Wiles había enviado una versión anterior que tenía un agujero. Fue revisado por cinco personas que creo que lo entendieron bastante bien. Una de las secciones de esa versión (la que tenía el agujero) fue inusualmente difícil de seguir, y supongo que no todas lo siguieron en detalle. (Hasta cierto punto, estaban dividiendo el esfuerzo entre ellos). Alguien me dijo en ese momento que la nueva prueba, que fue aceptada, fue mucho más fácil de seguir, sin embargo.

Comprender realmente significa no solo entender el papel de Wiles y el papel de Taylor y Wiles. Hubo algunas piezas clave de la prueba general ya realizadas por otros. El teorema de Ribet (el teorema de Ribet – Wikipedia) fue realmente importante y probablemente alguien que afirme entender la prueba en su totalidad debería haberlo entendido.

La prueba es lo suficientemente accesible como para que hubiera una conferencia al respecto en la Universidad de Boston, con una asistencia bastante buena. (Aquí hay un anuncio: Conferencia). Fue diseñado para ser lo más accesible posible para los estudiantes graduados. Querían animar a los jóvenes teóricos de números a trabajar en áreas relacionadas. Uno no vio toda la prueba presentada allí, pero hubo conversaciones sobre las partes principales de la misma. Se publicaron las actas de la conferencia para esa conferencia. Parecía que algunas de las partes más técnicas, y las más difíciles de cubrir en cualquier detalle, eran algunos resultados sobre las formas modulares. La parte sobre las curvas elípticas era técnica pero parecía menos peluda. Hubo una especie de idea clara llamada “teoría de la deformación” que se utiliza para unir los dos.

La prueba se ha actualizado desde entonces, por lo que no es necesario revisar todos los detalles técnicos exactamente como en la versión original. Por lo tanto, es probable que las personas que aprenden este material aprendan una versión mejor que el original. La prueba original estimuló una ola de esfuerzo. Las personas que mejoraron la prueba de modularidad para cubrir todas las curvas elípticas (y no solo el subconjunto que fue suficiente para probar el Último Teorema de Fermat) presumiblemente califican para entender completamente al menos esa parte de la prueba. No sé de ellos cuántos hubieran aprendido también a probar el teorema de Ribet, pero supongo que no tendrían muchas dificultades si quisieran.

Si uno tuviera que obtener algo como una buena estimación numérica, probablemente se requeriría consultar muchos teóricos de números que trabajan en esa área y preguntarles. No es como escalar el Everest; Tengo la sensación de que parecería un poco tonto anunciar que uno se tomó el tiempo de estudiar todo el tema, por lo que no lo averiguamos al revisar sus páginas de inicio y otra información disponible públicamente. Probablemente las personas que no entienden la prueba a fondo pero podrían entenderla a fondo si realmente quisieran (en cuestión de meses, por ejemplo) es mucho más que la cantidad que lo entiende todo ahora.

La prueba fue una muestra bastante buena de versatilidad, utilizando un montón de diferentes tipos de resultados, y hay muchas personas que sabrían de algunos de ellos y no sentirían la necesidad de los demás. Hay un tipo de apelación para aprender “todos” algunos temas, pero la academia es mucho más responsable de recompensarlo por aprender una parte de un tema y hacer una pequeña contribución.

Answer 4

Aunque estoy fuera de mi alcance cuando discuto las matemáticas y me impresiona fácilmente con tu educación, estoy MÁS impresionado con la humildad intelectual que se muestra en tu respuesta, Alon. Eso muestra signos de carácter real, algo que tanto falta entre los científicos y la academia en general. A pesar de ser titular, he estado marginado por la Academia Institucional en Japón por más de 30 años, y aunque a veces me siento tentado de atribuirlo a un racismo culturalmente inculcado, subconsciente … podría ser simplemente anticuado, arrogante sanción institucional. .

En cuanto a la pregunta de Joe sobre la “granularidad de las décadas”: desde la perspectiva de la psicología de la dinámica de grupo, parece que ambos estamos de acuerdo en que las afirmaciones de Thomas S. Kuhn en “La estructura de las revoluciones científicas” son igualmente válidas para la comunidad matemática. Teniendo en cuenta que soy un lego matemáticamente “desafiado”, me atrevería a suponer que, sí, han surgido nuevas matemáticas entre los años 90 y 2014 para justificar que Alon llame la atención sobre la fecha de la prueba. Tal vez soy un tonto optimista. Tendremos que confiar simplemente en los miembros de la comunidad matemática en este caso … el problema es, parafraseando a Kuhn, ¿estamos hablando de subcomunidades de matemáticas ‘normales’, o de subcomunidades de matemáticas ‘especiales’ que cambian de paradigma, o simplemente las matemáticas ¿Equivalente a ‘grupos de interés especial?

Sin duda, mis comentarios son demasiado simplistas, pero se presentan con el espíritu de un intento de llamar la atención sobre las limitaciones humanas que subyacen incluso en los pensamientos más abstractos, etéreos o hermosos. O tal vez nunca llegué más allá de la cueva de Platón 🙂

Answer 5

Sólo especialistas en grupos modulares. Los matemáticos que hacen otros tipos de matemáticas podrían seguir la prueba pero no habrían obtenido la prueba por sí mismos en un millón de años. El enfoque de Wile es muy especializado.

No es de extrañar que se necesitaran 300 años para resolver el problema.

Answer 6

Vea esta respuesta de MathOverflow del profesor Matt Emerton Página sobre Mathoverflow