Esta no es una pregunta fácil de responder. Brindo ‘Platonisn y sus opuestos’ de Barry Mazur mientras intenta explicar La pregunta en términos platónicos y no platónicos. Verás si las matemáticas son una invención humana o un descubrimiento humano depende completamente de tu perspectiva filosófica. Este es el caso de casi cualquier campo de actividad, por lo que la filosofía y la filosofía de la ciencia son casi un curso obligatorio en el nivel de estudios de posgrado.
¿Las matemáticas son descubiertas o inventadas?
Me referiré a esto como La pregunta, reconociendo que esta oración de cinco palabras, que termina en un signo de interrogación puede abrir conversaciones, pero no es más que un token, lo que representa un desconcierto respecto al estado de las matemáticas. Una cosa es que creo que es indiscutible: si te dedicas a las matemáticas el tiempo suficiente, te topas con La Pregunta y no desaparecerá. Si deseamos rendir homenaje a la experiencia sentida apasionada que hace que sea tan maravilloso pensar en las matemáticas, es mejor que le prestemos atención. Algunas disciplinas intelectuales están marcadas, incluso cicatrizadas, por preocupaciones análogas. La antropología, por ejemplo, tiene una vasta, y lamentablemente introspectiva, literatura que aborda el enigma de si alguna vez podemos evitar, de manera intencional o inconsciente, pegar las plantillas de nuestra propia cultura a lo que pensamos que estamos estudiando: cuánto estamos descubriendo. , ¿cuánto inventar? [RW. Los antropólogos no han hecho hincapié en esto desde hace bastante tiempo. Uno de los problemas más difíciles a los que se enfrentan los antropólogos culturales es determinar si su sujeto proporciona datos tal como los conoce o si cree que el entrevistador desea escucharlos. Un antropólogo entrenado puede detectar su propio sesgo]. Tal perplejidad descubierta / inventada puede o no ser un tema candente para otras actividades intelectuales, pero es extremadamente brillante para las matemáticas, y con una extrañeza que no encaja bien cuando aparece en otros campos. Por ejemplo, si dijera, como lo hizo una vez Thomas Kuhn, “Priestley descubrió el oxígeno, pero Lavoisier lo inventó”. Creo que sé aproximadamente lo que quiere decir con esa expresión, sin que tengamos que sincronizar nuestros vocabularios privados. Pero para comprender inteligentemente las actitudes posiblemente diferentes de cada uno hacia los círculos, triángulos y números, también tendríamos que llegar a un entendimiento, aunque siempre tan incompleto, de cómo cada uno de nosotros ve y hablamos, mucho más que las matemáticas. Para mí, al menos, el ancla de cualquier conversación sobre estos asuntos es la experiencia de hacer matemáticas y de buscar a tientas ideas matemáticas. Cuando leo literatura que aparentemente se trata de The Question, me pregunto si se conecta o no de alguna manera con mi experiencia sentida, y aún mejor, si revela algo al respecto. Estoy a menudo, quizás siempre, decepcionado. El aspecto extraño de la experiencia matemática, y esto es lo que da tanta energía feroz a The Question, es que uno siente (siento) que las ideas matemáticas pueden ser buscadas, y de una manera que es esencialmente diferente de, digamos, la forma Actualmente estoy buscando la siguiente palabra para escribir para terminar esta oración. Uno puede ser un cazador y un recolector de conceptos matemáticos, pero uno no tiene palabras listas para la ubicación de los cotos de caza. Por supuesto, los humanos estamos acosados por las ilusiones, y el sentimiento que acabamos de describir podría ser otro más. Puede que no haya ubicación. Hay al menos dos formas estándar de, si no exactamente responder, al menos, de encaminar la Pregunta ofreciendo un vocabulario de ubicación. Las etiquetas coloquiales para estas ubicaciones son In Here y Out There (que me parece que cubre el campo). La primera de estas actitudes estándar, la que tiene el logotipo In Here, que a veces se llama Kantian (¡pobre Kant!), Ubicaría la fuente de las matemáticas directamente dentro de nuestras facultades de comprensión. Por supuesto, las facultades (Verm¨ogen) y la comprensión (Verstand) están cargadas de palabras del siglo XVIII y sería bueno, al menos en esta discusión, descargarnos de su equipaje tanto como sea posible. Pero si este campo tuviera que elegir entre el descubrimiento y la invención, esas dos palabras demasiado frágiles, optaría por la invención.
La postura “Out There” con respecto a la pregunta de descubrimiento / invención cuyo símbolo heráldico es Platón (¡el pobre Platón!) Es afirmar, sin rodeos, que las matemáticas son el relato que damos de la arquitectura atemporal del cosmos. La misión esencial, entonces, de las matemáticas es la descripción precisa y la exfoliación de esta arquitectura. Este enfoque de la pregunta seguramente escogería el descubrimiento sobre la invención. Las cosas extrañas tienden a suceder cuando se piensa mucho acerca de cualquiera de estas preferencias. Por ejemplo, si adoptamos lo que etiqueté como posición kantiana, deberíamos vigilar la sigilosa palabra “nuestro” en la descripción que di, oculta como está entre los gigantes de vocabulario (Verm¨ogen, Verstand). ¿Exactamente cuyas facultades están siendo descritas? Quien es el nosotros ¿Se supone que debemos ser todos y cada uno de nosotros, dadas nuestras facultades separadas y quizás diferentes y con frecuencia defectuosas? Si crees que este es el caso, entonces estás comprometido a ver que la empresa matemática es tan variable como la humanidad. O estás imaginando algún tipo de destilado de todas las facultades reales, una facultad más trascendental, poseída por un tipo de nosotros o universales, en cuyo caso la visión kantiana parece fusionarse con la platónica.
Si adoptamos la visión platónica de que se descubren las matemáticas, estamos repentinamente en un territorio sorprendente, ya que esta es una posición teísta en toda regla. No es que posea necesariamente a un dios, sino que su postura es tal que la única manera en que uno puede expresar adecuadamente su fe en él, la única forma en que uno puede esperar persuadir a otros de su verdad, es abandonando el arsenal de la racionalidad, y Confiando en los recursos de los profetas. Por supuesto, los filósofos profesionales están en el negocio de formular posiciones anti-metafísicas o metafísicas, decorticarlas, defenderlas y refutarlas. Los matemáticos, sin embargo, pueden tener otro deber, o al menos un deber previo, de tratar con la Pregunta. Es decir, ser participantes / observadores meticulosos, fieles al único aspecto de La Cuestión en el que tienen derechos exclusivos: su propia experiencia imaginativa. ¿Qué describe precisamente nuestra experiencia interior cuando nosotros (y aquí estamos nosotros y tú) a tientas en busca de ideas matemáticas? Deberíamos hacer esta pregunta con los ojos abiertos, teniendo en cuenta la posibilidad de que, independientemente de lo que experimentemos, podamos engañarnos para fabricar ideas sobre un marco más amplio, ideas que no tienen base. Sospecho que muchos matemáticos están tan insatisfechos con gran parte de la literatura existente sobre The Question como yo. Para ser útil aquí, he compilado una lista de Qué hacer y qué no hacer para los futuros escritores que promueven las persuasiones platónicas o antiplatónicas.
Para los platónicos, una consecuencia crucial de la posición platónica es que considera a las matemáticas como un proyecto similar a la física, siendo los matemáticos platónicos, como los físicos ciertamente son, descriptores o posiblemente predictores, no, por supuesto, del mundo físico, sino de algunos Otra entidad más noética. Las matemáticas, desde la perspectiva platónica, tienen como objetivo, entre otras cosas, llegar a la descripción más fiel de esa entidad. Esta actitud tiene el curioso efecto de reducir algo de la urgencia de ese elemento básico de la vida matemática: la prueba rigurosa. Algunos matemáticos piensan en la prueba matemática como el certificado que garantiza la confiabilidad y la formulación de la naturaleza de los componentes básicos de los edificios que conforman nuestras construcciones. Sin prueba no hay bloques de construcción y edificios. Nuestros argumentos articulados paso a paso son los dispositivos que algunos matemáticos creen que son responsables de llevar a la práctica en las teorías en las que trabajamos. Esto no puede ser así para el ardiente platónico, o al menos no puede ser así en el de la misma manera que podría ser para los no platónicos. Los matemáticos a menudo se preguntan, y a veces lamentan, la laxitud de la prueba en la literatura física. Pero creo que este tipo de lamentación se basa en un concepto erróneo, a saber, la falta de comprensión de la función fundamental de la prueba en la física. La prueba tiene principalmente (como debería tener, en física) un papel retórico: convencer a los demás de que su descripción se mantiene unida, de que su modelo es una reproducción fiel, y posiblemente de persuadirlo también. Me parece que, en las manos de un matemático que es un platónico determinado, la prueba podría servir principalmente para este tipo de función retórica, asegurándose de que la descripción está en el buen camino, y no (o al menos no necesariamente) tener la La función de construcción de teoría rigurosa a menudo se concibe como satisfactoria. Mi sensación, cuando leo el relato de un platónico sobre su punto de vista de las matemáticas, es que a menos que se aborden y examinen concienzudamente estas cuestiones relacionadas con la naturaleza de la prueba, recibo un recuento superficial de la posición filosófica y pierdo interés en lo que Estoy leyendo.
Sin embargo, la tarea principal del platonista que desea persuadir a los no creyentes es aprender el oficio, de los profetas y los poetas líricos, de cómo comunicar una experiencia que trasciende el lenguaje disponible para describirlo. Si todo lo que va a hacer es cantar credos sinónimo de “las formas matemáticas están ahí fuera”, algo que algunos orgullosos ensayos sobre el platonismo matemático se contentan con hacer, bueno, eso no lo convencerá.
• Para los antiplatónicos hay muchos escollos. Una afirmación común, que está destinada a socavar las tendencias platónicas, es introducir en la discusión el tema de las matemáticas como una búsqueda humana y culturalmente dependiente, y pensar que realmente se está conversando sobre el tema en cuestión. Sin embargo, tenga en cuenta lo siguiente: si el objetivo era escribir una descripción del Gran Cañón y si un navajo, un irlandés y un zoroastriano iban a comenzar a escribir sus descripciones, puede apostar a que estas descripciones serán culturalmente dependientes, e incluso depende de los estados de ánimo y la educación y el lenguaje de los tres descriptores. Pero el hecho de haber recitado todo este relativismo sobre las tres descripciones no socava nuestra firme fe en la existencia del Gran Cañón, su enfoque común. De manera similar, uno puede ser el matemático más etno-matemáticamente consciente del mundo, afirmando que todos nuestros escritos matemáticos son tan contingentes a las circunstancias efímeras como la lluvia de esta mañana, y aún uno puede ser el platónico más devoto de los matemáticos. Ahora, este escollo que acabo de describir es inofensivo. Si alguna vez me encuentro con este tipo de matemáticas, es un argumento de la actividad humana cuando leo un ensayo que pretende desactivar, o es desalentador, el platonismo matemático, pienso: ¡la actividad humana! ¿Qué más podría ser? Considero que esta parte del ensayo es irrelevante para la pregunta aquí considerada. Un segundo tema que parece haber capturado la imaginación de algunos antiplatónicos es el reciente trabajo neurofisiológico, un estudio del flujo sanguíneo en secciones específicas del cerebro, como si esto proporcionara una visión interna de las cosas. Bien quien sabe La neuroanatomía y la química han sido útiles en algunas discusiones e inútiles en otras. Para mostrar que este tema es relevante, se requiere una explicación argumentada con precisión de cómo los patrones de flujo sanguíneo pueden refutar, o fundamentar, una disposición platonista o cualquiera. ¡Un argumento satisfactorio de ese tipo sería una maravilla! Pero simplemente pegar el flujo de sangre de las palabras, como si fuera una mano de póker, en una página realmente no funciona. A veces, el matemático antiplatónico cree que se puede avanzar al demostrar que el platonismo es insostenible por medios racionales, y que es una posición incoherente cuando se formula en un vocabulario proposicional. Es bastante fácil juntar oraciones proposicionales. Sin embargo, es mucho más difícil capturar una disposición platónica en una formulación proposicional que es una expresión completa y honesta de la visión de las cosas por parte de un matemático de carne y hueso. Por supuesto, no hay daño en intentarlo, y tal vez sea un buen ejercicio. Pero incluso si se nos ocurrió una proposición que está a la altura de expresar formalmente el platonismo, el mero hecho de que no se pueda demostrar que la proposición es verdadera no necesariamente la hará desaparecer. Hay muchas cosas, algunas verdaderas, otras falsas, insostenibles por medios racionales. Por ejemplo, si me desafía a que apoye, por medios racionales, mi afirmación de que soñé con Waikiki anoche, no podría. Entonces, ¿cuándo hay daño? Es cuando el ensayista se convierte en un nivelador. A menudo, esto sucede cuando el autor escribe extremadamente bien, súper coherentemente, anulando lentamente la posición platonista mediante —bueno— el brillante subterfugio de hacer que toda la discusión sea aburrida, hasta que yo, el lector, me convenza, aunque sea momentáneamente, dentro del marco de mi leyendo el ensayo, que no hay “gran cosa” aquí: la empresa matemática es precisamente como cualquier otra construcción cultural, y hay una falacia que acecha en cualquier afirmación de que es de otra manera. La pregunta no es una pregunta. Pero alguien que no está enamorado no logrará convencer definitivamente a alguien enamorado de la inexistencia del eros; por lo que este estado de ánimo nunca me supera por mucho tiempo. Afortunadamente, pronto salgo de ella y recuerdo nuevamente el notable sentido de independencia, incluso de autonomía, de los conceptos matemáticos y la calidad trascendental, la singularidad y la pasión de hacer matemáticas. Resuelvo entonces que (Platón o Anti-Platón) sea lo que sea que llegue a creer acerca de La Pregunta, mi creencia debe respetar completamente y no ignorar todo esto.
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