Cómo entender este problema en probabilidad

(una)

Deje que [math] x [/ math] sea la variable independiente como el valor obtenido una vez que haya girado el papel rojo, y que [math] B (x) [/ math] sea la variable dependiente en [math] x [ / math] obtenido después de haber entregado el papel azul. Del problema, [math] B (x) [/ math] se define como:

[math] B (x) = \ left \ {\ begin {matrix} 2x, && \ {\ text {Heads} \} \\ 0.5x, && \ {\ text {Tails} \} \ end {matrix} \ derecha. [/ math]

Dado que los posibles resultados [math] \ text {\ {Heads, Tails \}} [/ math] forman todo el espacio de probabilidad sobre una distribución uniforme discreta, el valor esperado de [math] B (x) [/ math] es:

[math] E [B (x)] = 0.5 \ times {0.5x} +0.5 \ times {2x} = 1.25x [/ math]

Como el valor esperado de [math] B (x) [/ math] es más alto que [math] x [/ math], siempre debe pasar el papel azul.

(segundo)

Sean [math] y [/ math] y [math] E [R_0 (x)] [/ math] las variables independientes especificadas en la pregunta. Deje que [math] b [/ math] sea la variable independiente como el valor obtenido una vez que haya entregado el papel azul, y [math] Red (b) [/ math] sea la variable dependiente en [math] b [/ Matemáticas] obtenida después de haber entregado el papel rojo. [math] Red (b) [/ math] se puede escribir como:

[math] Red (b) = \ left \ {\ begin {matrix} 2b, && \ {\ text {Tails} \} \\ 0.5b, && \ {\ text {Heads} \} \ end {matrix} \ derecha. [/ math]

De la pregunta, la variable dependiente [math] R_y (x) [/ math] se puede escribir como:

[math] R_y (x) = \ left \ {\ begin {matrix} b, && \ {b \ geq {y} \} \\ Red (b), && \ {b <y \} \ end {matrix} \ derecho. [/ math]

Tenga en cuenta específicamente que no hay una distribución de probabilidad dada en la pregunta para la relación entre [math] y [/ math] y [math] x [/ math], por lo que cada resultado de [math] R_y (x) [/ math] debe Ser considerado por separado. Esto no es un problema, porque se conoce [math] y [/ math] (desde su estado como variable independiente).

De la definición de [math] R_y (x) [/ math], su valor esperado [math] E [R_y (x)] [/ math] se puede escribir como:

[math] E [R_y (x)] = \ left \ {\ begin {matrix} E [b], && \ {b \ geq {y} \} \\ E [Red (b)], && \ {b <y \} \ end {matrix} \ right. [/ math]

Tenga en cuenta lo siguiente:

  • [math] E [b] [/ math] es el valor esperado de [math] b [/ math], pero esto es equivalente a [math] E [R_0 (x)] [/ math], que se indica específicamente en La pregunta como la recompensa esperada cuando el papel azul siempre se voltea.
  • De la definición de [math] Red (b) [/ math],

    [math] E [Red (b)] = \ left \ {\ begin {matrix} E [2b], && \ {\ text {Tails} \} \\ E [0.5b], && \ {\ text {Heads } \} \ end {matrix} \ right. [/ math]

    Como en la pregunta (a), dado que los posibles resultados [math] \ text {\ {Heads, Tails \}} [/ math] forman todo el espacio de probabilidad sobre una distribución uniforme discreta, el valor esperado de [math] Red (b ) [/ math] es:

    [math] E [Red (b)] = 0.5 \ times {E [0.5b]} + 0.5 \ times {E [2b]} [/ math]

    Dado que el operador del valor esperado es lineal, [math] E [0.5b] = 0.5E [b] [/ math] y [math] E [2b] = 2E [b] [/ math], entonces

    [math] E [Red (b)] = 0.5 \ times {0.5E [b]} + 0.5 \ times {2E [b]} = 1.25E [b] [/ math]

Con esta información, considere entonces los dos casos de [math] R_y (x) [/ math]:

  1. Caso 1 , [math] b \ geq {y} [/ math]:
    [math] E [R_y (x)] = E [b] = E [R_0 (x)] [/ math]
  2. Caso 2 , [math] b <y [/ math]:
    [math] E [Red (b)] = 1.25E [b] = 1.25E [R_0 (x)] [/ math]

(a) Como Anónimo escribió, dada x, la cantidad en el papel rojo, la cantidad en el papel azul siempre tiene un valor esperado de 1.25x, por lo que siempre aumenta el valor esperado de cambiar al papel azul si comenzó con rojo.

(b) Esto es más fácil que el enfoque de Anonymous. Si y 2x, cambias por cabezas y obtienes x, de lo contrario no cambias por cabezas y obtienes 2x. Así que hay tres casos:

  1. y
  2. x / 2
  3. y> 2x, cambiar siempre, obtener x, valor esperado x

Esta es una variante del párrafo de Corbata (también conocido como el Juego de la Cartera y la paradoja del Sobre, fue originalmente establecido por Maurice Kraitchik – Wikipedia. Sin embargo, hay una falla en esta versión. No afecta las respuestas a este problema.

El jugador debe voltear el papel azul, si el número es impar, siempre debe cambiar. Por lo tanto, la filántropa, si quiere convertir esto en un juego, tiene que elegir x divisible por 4. Pero el jugador puede resolver esto, y debería cambiar si el papel azul tiene un número no divisible por 8. Eso significa que el filántropo debe escoja un número divisible por 16, y así sucesivamente, ad infinitum.