(una)
Deje que [math] x [/ math] sea la variable independiente como el valor obtenido una vez que haya girado el papel rojo, y que [math] B (x) [/ math] sea la variable dependiente en [math] x [ / math] obtenido después de haber entregado el papel azul. Del problema, [math] B (x) [/ math] se define como:
[math] B (x) = \ left \ {\ begin {matrix} 2x, && \ {\ text {Heads} \} \\ 0.5x, && \ {\ text {Tails} \} \ end {matrix} \ derecha. [/ math]
Dado que los posibles resultados [math] \ text {\ {Heads, Tails \}} [/ math] forman todo el espacio de probabilidad sobre una distribución uniforme discreta, el valor esperado de [math] B (x) [/ math] es:
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[math] E [B (x)] = 0.5 \ times {0.5x} +0.5 \ times {2x} = 1.25x [/ math]
Como el valor esperado de [math] B (x) [/ math] es más alto que [math] x [/ math], siempre debe pasar el papel azul.
(segundo)
Sean [math] y [/ math] y [math] E [R_0 (x)] [/ math] las variables independientes especificadas en la pregunta. Deje que [math] b [/ math] sea la variable independiente como el valor obtenido una vez que haya entregado el papel azul, y [math] Red (b) [/ math] sea la variable dependiente en [math] b [/ Matemáticas] obtenida después de haber entregado el papel rojo. [math] Red (b) [/ math] se puede escribir como:
[math] Red (b) = \ left \ {\ begin {matrix} 2b, && \ {\ text {Tails} \} \\ 0.5b, && \ {\ text {Heads} \} \ end {matrix} \ derecha. [/ math]
De la pregunta, la variable dependiente [math] R_y (x) [/ math] se puede escribir como:
[math] R_y (x) = \ left \ {\ begin {matrix} b, && \ {b \ geq {y} \} \\ Red (b), && \ {b <y \} \ end {matrix} \ derecho. [/ math]
Tenga en cuenta específicamente que no hay una distribución de probabilidad dada en la pregunta para la relación entre [math] y [/ math] y [math] x [/ math], por lo que cada resultado de [math] R_y (x) [/ math] debe Ser considerado por separado. Esto no es un problema, porque se conoce [math] y [/ math] (desde su estado como variable independiente).
De la definición de [math] R_y (x) [/ math], su valor esperado [math] E [R_y (x)] [/ math] se puede escribir como:
[math] E [R_y (x)] = \ left \ {\ begin {matrix} E [b], && \ {b \ geq {y} \} \\ E [Red (b)], && \ {b <y \} \ end {matrix} \ right. [/ math]
Tenga en cuenta lo siguiente:
- [math] E [b] [/ math] es el valor esperado de [math] b [/ math], pero esto es equivalente a [math] E [R_0 (x)] [/ math], que se indica específicamente en La pregunta como la recompensa esperada cuando el papel azul siempre se voltea.
- De la definición de [math] Red (b) [/ math],
[math] E [Red (b)] = \ left \ {\ begin {matrix} E [2b], && \ {\ text {Tails} \} \\ E [0.5b], && \ {\ text {Heads } \} \ end {matrix} \ right. [/ math]
Como en la pregunta (a), dado que los posibles resultados [math] \ text {\ {Heads, Tails \}} [/ math] forman todo el espacio de probabilidad sobre una distribución uniforme discreta, el valor esperado de [math] Red (b ) [/ math] es:
[math] E [Red (b)] = 0.5 \ times {E [0.5b]} + 0.5 \ times {E [2b]} [/ math]
Dado que el operador del valor esperado es lineal, [math] E [0.5b] = 0.5E [b] [/ math] y [math] E [2b] = 2E [b] [/ math], entonces
[math] E [Red (b)] = 0.5 \ times {0.5E [b]} + 0.5 \ times {2E [b]} = 1.25E [b] [/ math]
Con esta información, considere entonces los dos casos de [math] R_y (x) [/ math]:
- Caso 1 , [math] b \ geq {y} [/ math]:
[math] E [R_y (x)] = E [b] = E [R_0 (x)] [/ math] - Caso 2 , [math] b <y [/ math]:
[math] E [Red (b)] = 1.25E [b] = 1.25E [R_0 (x)] [/ math]