El interés principal en los conjuntos perfectos proviene de sus conexiones con la teoría de conjuntos, en particular la Hipótesis Continua, y con el campo de estudio que se conoció como Teoría de Conjuntos Descriptivos.
Esta línea de investigación se remonta hasta Cantor. Recuerde que Cantor consideró la pregunta de CH, muy concretamente, así: Si un subconjunto de [math] \ mathbb {R} [/ math] no es contable, ¿tiene necesariamente la misma cardinalidad que [math] \ mathbb {R }[/mates]?
Es increíble que Cantor no solo creara la teoría moderna de conjuntos en gran medida por sí solo, sino que también pudo hacer un progreso significativo en el estudio de la estructura de conjuntos de la línea real. Una de sus ideas fue estudiar CH para varias clases topológicas de conjuntos, lo que lo llevó a identificar el papel clave que desempeñan los conjuntos perfectos.
Es muy fácil ver que un subconjunto abierto de [math] \ mathbb {R} [/ math] tiene la cardinalidad del continuo [math] c [/ math]. Simplemente, un subconjunto abierto contiene un intervalo, y cualquier intervalo es biyectivo con [math] \ mathbb {R} [/ math].
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Así que a continuación nos preguntamos acerca de los conjuntos cerrados. Un conjunto cerrado puede ser ciertamente contable: podría ser un solo punto, o finamente muchos puntos, o infinitamente, pero sin duda, muchos puntos aislados. Pero ¿y si no lo es? ¿Debe tener cardinalidad [math] c [/ math]?
La respuesta es Sí, pero no es tan fácil como en el caso de los conjuntos abiertos. Cantor se dio cuenta de que la pregunta se aborda naturalmente al enfocarse primero en conjuntos perfectos, que son conjuntos cerrados sin puntos aislados. En tal conjunto, cualquier punto es un punto de acumulación, por lo que podemos estudiarlos seleccionando puntos recursivamente a cada lado de un punto dado dentro de vecindarios con diámetros que disminuyen rápidamente. Esto conduce a una prueba de la incontabilidad y a la idea del importante conjunto de Cantor.
Ahora puede proceder a demostrar que cualquier conjunto cerrado debe contener un conjunto perfecto, que establezca el CH para conjuntos cerrados. Este es un progreso tremendo, pero desde la perspectiva de la jerarquía de Borel, obviamente es solo el comienzo … La Teoría de Conjuntos Descriptivos es lo que sucede cuando sigues empujando esas ideas más y más profundamente, lo que lleva a un cuerpo masivo de conocimiento que se está investigando. día.
Puede que valga la pena señalar, sin embargo, que hay grandes franjas de “topología” que están totalmente separadas de esas ideas. El estudio de múltiples, nudos, etc. se elimina de manera bastante limpia de la topología de conjuntos de puntos y la teoría de conjuntos descriptivos, y encontrará muchos topólogos que nunca necesitaron trabajar con conjuntos perfectos y similares.