¿Cuáles son las aplicaciones de la diferenciación e integración matemáticas en la vida cotidiana o en el campo de la ingeniería? ¿Por qué lo estamos aprendiendo?

En los días de Isaac Newton, uno de los mayores problemas era la mala navegación en el mar. Antes de que se desarrollara el cálculo, las estrellas eran vitales para la navegación.
Los naufragios ocurrieron porque la nave no estaba donde el capitán pensó que debería estar. No hubo una comprensión suficiente de cómo la Tierra, las estrellas y los planetas se movían entre sí. El cálculo (la diferenciación y la integración) se desarrolló para mejorar esta comprensión.
Utilizamos el derivado para determinar los valores máximos y mínimos de funciones particulares (por ejemplo, costo, resistencia, cantidad de material utilizado en un edificio, ganancias, pérdidas, etc.).

  1. Los derivados se encuentran en muchos problemas de ingeniería y ciencia, especialmente al modelar el comportamiento de objetos en movimiento.
  2. Se usa mucho ECONÓMICAMENTE, el cálculo es también una base de la economía. En economía, el cálculo se utiliza para calcular el costo marginal y el ingreso marginal, lo que permite a los economistas predecir el beneficio máximo en un entorno específico.
  3. Las Torres Petronas en Kuala Lumpur experimentan grandes fuerzas debido a los vientos. La integración se utilizó para diseñar el edificio para la fortaleza.

4. La Ópera de Sydney es un diseño muy inusual basado en rebanadas de una bola. Se resolvieron muchas ecuaciones diferenciales (un tipo de integración) en el diseño de este edificio.
5. Históricamente, uno de los primeros usos de la integración fue en la búsqueda de volúmenes de barriles de vino (que tienen una superficie curva).
6. Se usa en la historia, para predecir la vida de una piedra.
7.El novato, controlador PID es un mecanismo de retroalimentación de bucle de control (controlador) ampliamente utilizado en sistemas de control industrial. (Para el principio de funcionamiento, visite el controlador PID)

8. Las aplicaciones de la Integral Indefinida muestran cómo encontrar el desplazamiento (desde la velocidad) y la velocidad (desde la aceleración) utilizando la integral indefinida.
9. En la escuela primaria, aprendimos a encontrar áreas de formas con lados rectos (por ejemplo, el área de un triángulo o rectángulo). ¿ Pero cómo encuentras áreas cuando los lados están curvados ? Integración.

Entenderemos el propósito de la diferenciación con la ayuda de un problema simple.
Porque las matemáticas son para resolver problemas. 🙂

En el siguiente gráfico, sea el eje Y la velocidad de un objeto y el eje X el tiempo del experimento .

Entonces, la inferencia que sacamos de la gráfica es –
Inicialmente, el objeto está en reposo y en 10 segundos la Velocidad del objeto aumentó a 3.162 m / s.

Intentemos averiguar la aceleración media del objeto.

Aceleración promedio = [math] \ dfrac {Velocidad final – Velocidad inicial} {Tiempo total tomado} [/ math]

En este problema particular, la respuesta es
Aceleración promedio = [math] \ dfrac {3.162-0} {10} = 0.316 [/ math] [math] m / s ^ 2 [/ math]

¡¡Simple derecho !!

Ahora trate de encontrar la Aceleración instantánea (es decir, la aceleración del objeto exactamente en el instante en particular) en [math] 5 ^ {th} [/ math] segundo.

Ahora surge el problema. ¿Cómo hacer ese hombre? No vi el objeto.
¡Sí! Podemos encontrar la aceleración instantánea del objeto si estudiamos la gráfica.

Una forma muy sencilla de hacerlo es con la ayuda de la Diferenciación.

Primero, entenderemos cómo encontrarlo de manera cruda. Para hacer esto, continuamos reduciendo nuestro tiempo de experimento e intentamos mantener [math] 5 ^ {th} [/ math] en segundo lugar en el centro del experimento.

Entonces, la aceleración promedio entre 1 y 9 segundos es [math] \ dfrac {3-1} {8} = 0.25 [/ math] [math] m / s ^ 2 [/ math]

y la aceleración promedio entre 2 y 8 segundos es [math] \ dfrac {2.828-1.414} {6} = 0.235 [/ math] [math] m / s ^ 2 [/ math]

y la aceleración promedio entre 3 y 7 segundos es [math] \ dfrac {2.645-1.732} {4} = 0.2284 [/ math] [math] m / s ^ 2 [/ math]

de manera similar, la aceleración promedio de 4 y 6 segundos es [math] \ dfrac {2.449-2} {2} = 0.2247 [/ math] [math] m / s ^ 2 [/ math]

Como puede ver, el valor de Aceleración instantánea en [math] 5 ^ {th} [/ math] se acerca a [math] 0.2247 [/ math] [math] m / s ^ 2 [/ math] pero ¿cuál es el valor exacto? valor de ello?
Si vas más lejos y más lejos, es decir, si obtienes una aceleración promedio entre 4.5 y 5.5 segundos, 4.9 y 5.1 segundos, 4.99 y 5.01 segundos y así sucesivamente, tenderás a acercarte al valor de la Aceleración instantánea en el quinto segundo.

Pero este es un proceso muy simple y es difícil de hacer en gráficos complejos.

Ahora, usemos el método de diferenciación .

La curva de la gráfica dada es [math] y = \ sqrt {x} [/ math] donde y = Velocity yx = time

Desde la física, sabemos que

[math] \ dfrac {d} {dx} (Velocidad) [/ math] = Aceleración instantánea

Usando eso, encontramos la Aceleración instantánea del objeto en el 5º segundo.
[math] \ dfrac {d (\ sqrt {x})} {dx} = – \ dfrac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ math]

Sustituyendo el valor de x como 5 en RHS de la ecuación anterior, obtenemos
[math] \ dfrac {1} {2 \ sqrt {5}} = \ dfrac {1} {2 * 2.236} = \ dfrac {1} {4.472} = [/ math] 0.2236.

Por lo tanto, [math] 0.2236 [/ math] [math] m / s ^ 2 [/ math] es la aceleración instantánea del objeto en el 5º segundo.

:)))

Bueno, pero este es solo un propósito simple de diferenciación.

Hay tantos más como

  • Hallazgo de la tasa de cambio de las cantidades (la anterior es una tasa de velocidad). Puede encontrar la tasa de cambio del nivel de agua en un tanque o la tasa de cambio del volumen de un gas en una expansión o cualquier otra cosa.
  • para encontrar las ecuaciones de tangentes y normal a cualquier curva dada en un punto.
  • para encontrar puntos de inflexión en la gráfica de una función que, a su vez, nos ayudará a localizar los puntos en los que se produce el valor más grande o más pequeño de una función (localmente).
  • Para crear ecuaciones diferenciales eliminando constantes desconocidas.
  • y así…

De manera similar, la integración se puede usar para encontrar un área bajo una curva o un volumen bajo un plano.

Encontrar el volumen de estas formas es muy difícil si se hace usando leyes geométricas normales y tampoco encontrará el valor exacto de ellas. Simplemente te acercarás a un valor aproximado.

Encontrar el área de este plano hiperbólico también requiere integraciones.

El propósito de la integración es agregar una gran cantidad de cantidades muy pequeñas que difieren según una función particular para obtener el valor de una cantidad diferente.

Por ejemplo:
El trabajo realizado en una expansión de gas es la integración de cambios muy pequeños que se realizan de forma casi estática.

Hay muchas más aplicaciones de integración.

Los que he mencionado anteriormente son simples que están en uso diario.

Ten un día divertido. 🙂

[Fuente de la imagen]: Recorte del gráfico [math] y = \ sqrt {x} [/ math] de la calculadora gráfica Desmos

[Fuente de la imagen]: imágenes de Google de planos hiperbólicos y curvas hiperbólicas.

Los campos de la ingeniería dependen en gran medida de la física, que a su vez implica mucho cálculo. Por ejemplo, la aceleración es la derivada de la velocidad, que a su vez es la derivada de la posición / desplazamiento. En consecuencia, muchos problemas implican la relación de la fuerza (que es proporcional a la aceleración) con la velocidad y la posición.

En ingeniería eléctrica, la corriente es la tasa de cambio de carga, mientras que para un condensador, por ejemplo, el voltaje es proporcional a la carga. Así que podríamos usar ecuaciones con derivadas e integrales para hablar de voltajes en el circuito del capacitor. Para los inductores, la autoemf es proporcional a la tasa de cambio del flujo magnético, que a su vez puede ser proporcional a la tasa de cambio de corriente en el inductor, dando otra relación de cálculo.

Estoy seguro de que cada campo de ingeniería tiene su propia aplicación particular de cálculo e incluso matemáticas más altas.

Los naufragios ocurrieron porque la nave no estaba donde el capitán pensó que debería estar. No había una comprensión lo suficientemente buena de cómo la Tierra, las estrellas y los planetas se movían entre sí.

El cálculo (diferenciación e integración) se desarrolló para mejorar esta comprensión.

La diferenciación y la integración pueden ayudarnos a resolver muchos tipos de problemas del mundo real.

Utilizamos el derivado para determinar los valores máximos y mínimos de funciones particulares (por ejemplo, costo, resistencia, cantidad de material utilizado en un edificio, ganancias, pérdidas, etc.).

Los derivados se encuentran en muchos problemas de ingeniería y ciencia, especialmente al modelar el comportamiento de objetos en movimiento.

INTEGRACIÓN:

1. Las aplicaciones de la Integral Indefinida muestran cómo encontrar el desplazamiento (desde la velocidad) y la velocidad (desde la aceleración) utilizando la integral indefinida. También hay algunas aplicaciones de electrónica.

En la escuela primaria, aprendimos cómo encontrar áreas de formas con lados rectos (por ejemplo, el área de un triángulo o un rectángulo). ¿Pero cómo encuentras áreas cuando los lados están curvados? p.ej

2. Área bajo una curva y
3. Área entre 2 curvas. La respuesta es por integración.

4. Volume of Solid of Revolution explica cómo usar la integración para encontrar el volumen de un objeto con lados curvos, por ejemplo, barriles de vino.

5. Centroide de un Área significa el centro de masa. Vemos cómo usar la integración para encontrar el centroide de un área con lados curvos.

6. Momentos de inercia explica cómo encontrar la resistencia de un cuerpo en rotación. Utilizamos la integración cuando la forma tiene lados curvos.

7. Trabajo por una fuerza variable muestra cómo encontrar el trabajo realizado en un objeto cuando la fuerza no es constante.

8. Las cargas eléctricas tienen una fuerza entre ellas que varía según la cantidad de carga y la distancia entre las cargas. Utilizamos la integración para calcular el trabajo realizado cuando se separan los cargos.

9. El valor promedio de una curva se puede calcular utilizando la integración.

Hay toneladas de aplicaciones, lo que hace la diferenciación y la integración es calcular las tasas de cambio y las áreas / volúmenes bajo una curva, respectivamente. Esto se encuentra en todas partes en las ciencias naturales y la ingeniería. Muchos de estos problemas hoy en día se pueden resolver mediante aproximaciones discretas utilizando computadoras, pero los algoritmos aún se construyen utilizando la teoría de la diferenciación y la integración.

Supongo que abordaré algunos problemas comunes y cómo la diferenciación y la integración ayudan.

La diferenciación y la integración se pueden utilizar para construir (y resolver) ecuaciones diferenciales. Los dos tipos de divisiones grandes en ecuaciones diferenciales son ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se estudian típicamente en forma de sistemas dinámicos, las aplicaciones incluyen la dinámica de poblaciones, el modelado de epidemias, redes neuronales, robótica y ciencia cognitiva (enlaces para esto). 1 2

Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden usar para modelar el flujo de fluidos (ecuaciones de Navier-Stokes), espacio-tiempo y gravedad (ecuaciones de campo de Einstein), electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), en mecánica cuántica (ecuación de Schrodinger, ecuación de Klein-Gordon, ecuación de Dirac, etc. etc. etc.).

La diferenciación es fundamental para algo que se llama el método de Newton-Ralphson, que nos permite encontrar raíces de ecuaciones no lineales. De nuevo un problema de interés en las ciencias y la ingeniería.

Los conceptos también son fundamentales para el análisis numérico, ya que hacen versiones discretas de las ecuaciones mencionadas anteriormente para encontrar soluciones usando computadoras.

Perdón por tener una respuesta tan vaga / amplia, pero es una pregunta bastante amplia, y hacer justicia en cualquiera de estos temas requiere un curso universitario completo.

La integración matemática y la diferenciación son un pequeño subconjunto del tema conocido como cálculo.

En cuanto a cómo utilizamos eso en la vida real, veamos primero, qué puede responder el cálculo.
El cálculo se puede utilizar para responder lo siguiente:

1. ¿Cuál es la tasa de cambio de una cantidad A con respecto a otra cantidad B?
2. Por lo tanto, ¿cuál será el valor de una cantidad A para algún valor de la cantidad B?
3. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la cantidad A y a qué valores de la cantidad B?
4. ¿Cuál es el valor acumulativo de A en un rango de B?

Y estas son sólo algunas cosas.

De la parte superior de mi cabeza, aquí hay algunos usos de la vida real: –

1. En una planta de fabricación, las preguntas como la cantidad de producto que se produce para obtener ganancias, la ganancia / pérdida incurrida durante un período determinado y el aumento en la tasa de producción para lograr una cierta ganancia se responden mediante cálculos.

2. Un automóvil o avión no tripulado controlado por radio (RC) que puede estar utilizando se opera a través de un microprocesador que utiliza el cálculo en su funcionamiento mediante el uso de las velocidades instantáneas de cambio de velocidad, altitud, distancia, etc. para funcionar.


3. En arquitectura, el cálculo nos ayuda a encontrar el peso del techo que puede soportar las vigas sin fractura y también el máximo. Desviación de las vigas causadas.
Una extensión de esto podría ser encontrar el peso y la desviación adecuados producidos en cosas tan grandes como puentes.

Aquí hay algunas otras aplicaciones de cálculo.

En conclusión, el cálculo es un campo muy amplio y su aplicación es infinita.

La diferenciación y la integración son muy utilizadas en la ciencia satelital.

Si observas las cosas muy básicas que te ayudan a hacer, como, la diferenciación se usa para encontrar la pendiente de la curva y la integración se usa para encontrar el área delimitada por la curva, se pueden extender a problemas complejos de la vida diaria y cuestiones.