¿Cuál es la mayor creación matemática de todos los tiempos?

Answer 1

Definiciones precisas. Esto es más un desarrollo que un descubrimiento, pero yo diría que la mayor parte de las matemáticas se caracteriza más precisamente de esta manera.

En los cursos de cálculo para estudiantes que no se especializan en matemáticas o campos relacionados, es común evitar definir las cosas de una manera precisa. Eso puede funcionar para los estudiantes que no necesitan saber muchas matemáticas, pero no es propicio para desarrollar matemáticas rigurosas.

Considere el ejemplo del límite de una secuencia de números reales. En algunas clases de cálculo, los estudiantes aprenderán que una secuencia de números reales [math] x_1, x_2, \ ldots [/ math] converge a un número real [math] x [/ math] (o [math] \ lim_ {n \ a \ infty} x_n = x [/ math]) si [math] x_n [/ math] “se acerca cada vez más a [math] x [/ math] a medida que [math] n [/ math] se hace grande”. Y para los problemas que aparecen en este tipo de clase, esta intuición los llevará lo suficientemente lejos.

Esto no es lo suficientemente preciso para un matemático. Un matemático insistirá en pensar en secuencias como las siguientes. Diga que [math] a_n = 2 ^ {- n} [/ math] si [math] n [/ math] es impar, y [math] a_n = 2 ^ {- n + 2} [/ math] si [math ] n [/ math] es par.
Eso significa que [math] a_1 = 1/2 [/ math], [math] a_2 = 1 [/ math], [math] a_3 = 1/8 [/ math], [math] a_4 = 1/4 [/ math ], [math] a_5 = 1/32 [/ math], [math] a_6 = 1/16 [/ math], y así sucesivamente.

¿Hay un valor [math] a [/ math] tal que [math] a_n [/ math] se acerque más y más a [math] a [/ math] “a medida que [math] n [/ math] se hace más grande? Bueno, los valores parecen estar acercándose a cero en algún sentido. Es decir, todos los términos después del segundo término están más cerca de [math] 0 [/ math] que los primeros dos términos. Y de manera similar, los términos después del cuarto término están más cerca de [math] 0 [/ math] que de los primeros cuatro. Pero también tenemos un patrón de algunos términos que están más alejados de [math] 0 [/ math] que los términos anteriores a ellos. Por ejemplo, [math] a_2 = 1 [/ math] está más lejos de [math] 0 [/ math] que [math] a_1 = 1/2 [/ math] is, y [math] a_3 = 1/4 [/ math ] está más lejos de [math] 0 [/ math] que [math] a_4 = 1/8 [/ math] es. ¿”Más lejos y luego más cerca y luego más y luego más cerca” cuentan como “más y más cerca”? Ejemplos como este son los motivos por los cuales la clase de cálculo “definición intuitiva” de un límite no es lo suficientemente precisa. Y las cosas se vuelven aún más desesperadas si intentamos probar cualquier tipo de resultado general sobre secuencias con esta “definición intuitiva”.

En una clase de análisis o una clase de cálculo más avanzada, diremos que [math] x_n [/ math] converge a [math] x [/ math] (o [math] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = x [/ math]) si para cada [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe un número natural [math] N \ in \ mathbb {N} [/ math] tal que [math] | x_n-x | <\ epsilon [/ math] siempre que [math] n \ ge N [/ math]. Muchas personas tienen problemas para envolver sus cabezas en torno a esta definición. Los estudiantes de cálculo tienen pesadillas al respecto en sus exámenes.

Con un poco de práctica, esta definición formal de un límite es mucho más fácil de trabajar que la “definición intuitiva” porque es mucho más precisa. Si quiero mostrar que [math] \ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 0 [/ math], entonces necesito mostrar que si me da un número positivo [math] \ epsilon [/ math], Podré encontrar un número natural [math] N> 0 [/ math] tal que [math] | a_n-0 | <\ epsilon [/ math]. Y de hecho, al observar que [math] 0 0 [/ math], vemos que si elegimos [math] N [/ math] lo suficientemente grande como para que [math] 2 ^ {- N + 2} <\ epsilon [/ math] luego en cualquier momento [math] n \ ge N [/ math] tendremos [math] | a_n- 0 | = a_n \ le 2 ^ {- n + 2} \ le 2 ^ {- N + 2} <\ epsilon [/ math]. Esto muestra que la secuencia converge a [math] 0 [/ math].

Más importante aún, podemos usar esta definición para probar todo tipo de afirmaciones generales que involucran límites de secuencias. Declarar las cosas precisamente lo hace posible.

La mencionada “definición intuitiva” de un límite es un ejemplo extremo de una definición imprecisa, por lo que no quiero dejar la impresión de que las nociones “intuitivas” siempre son inútiles. No siempre ha sido una práctica matemática estándar hacer definiciones precisas, y a menudo ha tomado un tiempo hacer rigurosos los nuevos desarrollos matemáticos. La definición moderna de un límite, por ejemplo, no existía en los días de Newton y Leibniz, a quienes se les atribuye el desarrollo de cálculos básicos. De hecho, Newton y Leibniz no trabajaron con límites, sino que emplearon el lenguaje de los infinitesimales. Hoy, no reconoceríamos su trabajo como riguroso (y tenía sus detractores en ese entonces también). No fue hasta la introducción de la noción moderna de un límite en el siglo XIX que el cálculo encontró una base rigurosa. (Los infinitesimales de Newton y Leibniz también eventualmente encontraron una base sólida con el desarrollo de un análisis no estándar a mediados del siglo XX, y nuevamente las buenas definiciones fueron clave para hacer esto posible).

Establecer definiciones precisas para capturar nuestras intuiciones es a veces muy difícil, pero es una parte importante del desarrollo de nuevas matemáticas. Nos permite hacer declaraciones inequívocas y desarrollar pruebas rigurosas.

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Answer 2

El hecho de que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como la proporción de dos enteros. Esto fue hecho por los pitagóricos. Lo que lo hizo espectacular es que fue la primera “verdad” que nunca se pudo haber descubierto experimentalmente. La verdad de este teorema se encuentra solo dentro de la mente humana. Y, sin embargo, la prueba es tan simple que puede ser entendida por un estudiante de secundaria.

Aquí hay una cita de mi libro Ahora: La física del tiempo:

—— comienzo de extracto a partir de ahora—–

Los pitagóricos, alrededor del año 600 a. De JC, descubrieron que la raíz cuadrada de 2 no podía escribirse como una proporción de números enteros. Como resultado, los llamaron irracionales . No racional. Loco.

Esto puede sonar como un asunto matemático arcano, pero piénsalo. ¿Cómo puedes estar seguro de que esa afirmación es cierta? Después de todo, la raíz cuadrada de 2 no es un número particularmente extraño; es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos brazos tienen cada uno la longitud 1. La medida física no podría concluir que el número sea irracional. Nunca podrías probar todas las combinaciones de enteros posibles. Supongamos que les dijera que la raíz cuadrada de dos era igual a 1.607.521 dividida por 1.136.689. No lo es, pero esa fracción está muy cerca. Intentalo; hacer la división en su calculadora y luego cuadrarla. O usa una hoja de cálculo …

Un hecho aún más sorprendente sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, algo que demuestra lo extraordinario que es este hecho, es que se descubrió una sola vez en la historia de la civilización. Todas las demás declaraciones de este hecho en todo el mundo pueden rastrear el origen de su conocimiento hasta el trabajo de los matemáticos griegos.

—— final del extracto—–

Aquí hay una prueba rápida: asumiremos que [math] \ sqrt {2} [/ math] se puede escribir como la proporción de dos enteros, p / q , donde p o q es un número impar. (Si ambos son iguales, entonces cancele el factor común de 2 y repita hasta que al menos uno sea impar). Y luego llegue a una contradicción. Eso demostrará que el supuesto original era falso.

[math] \ sqrt {2} = p / q [/ math]

[math] p = q \ sqrt {2} [/ math]

Cuadrar ambos lados:

[math] p ^ 2 = 2q ^ 2 [/ math]

Como [math] p ^ 2 [/ math] es un múltiplo de 2, eso significa que [math] p ^ 2 [/ math] es par. Pero entonces p es par, ya que el cuadrado de un número impar es siempre impar. (Si no lo sabe, entonces es fácil de probar. Cualquier número impar puede escribirse como un número par más 1. Encuadre eso, y verá que obtiene un número impar).

Como p es par, escríbelo como 2 m . Ahora conecte en la ecuación:

[math] p ^ 2 = 2q ^ 2 [/ math]

[math] (2m) ^ 2 = 2q ^ 2 [/ math]

[math] 4m ^ 2 = 2q ^ 2 [/ math]

[math] 2m ^ 2 = q ^ 2 [/ math]

Eso significa que [math] q ^ 2 [/ math] es par, y por lo tanto es q .

Eso es una contradicción. Habíamos dicho que al menos uno de pyq debe ser impar, pero hemos demostrado que ambos son pares. Por lo tanto, nuestra suposición de que podemos escribir [math] \ sqrt {2} = p / q [/ math] es falsa.

Si esto te intriga, aquí hay otro extracto de mi libro Ahora.

—— extracto de ahora ———-

Según la leyenda, los pitagóricos estaban tan molestos por el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 es irracional que lanzaron a Hipaso, el hombre que lo descubrió, por la borda desde un bote. (La metáfora moderna es “tirarlo debajo de un autobús”.) La prueba de Hippasus puede haber sido similar a la que doy [arriba], pero hay buenas pruebas alternativas, una basada en la geometría.

Según otra versión de la leyenda, los pitagóricos consideraron que el descubrimiento de la naturaleza de la raíz cuadrada de 2 era tan profundo que se convirtió en el fundamento de su religión. En esa historia, lanzaron a Hippasus por la borda para castigarlo por haber revelado este gran secreto a los forasteros. Pero ciertamente es cierto que los pitagóricos descubrieron en este teorema la verdad profunda de que existe un conocimiento que existe fuera de la realidad física, una verdad tan sorprendente que solo la revelaron los jurados a la fe pitagórica. Hipaso había descubierto que la verdad no física, la verdad que desafía la verificación física, sí existe.

Answer 3

No soy un matemático, sino más bien un entusiasta de las matemáticas. Por lo tanto, espero que la mía sea tomada como una vista “externa”.
Los romanos tenían un sistema numérico muy simple, muy intuitivo. Sin embargo, lo pasaron mal con grandes números. Se parecen a oraciones en sí mismas (MCMXCVII para 1997). Este fue un gran problema para ellos en términos de procesos de pensamiento matemático. En algún lugar de la historia, un niño de la matemática romana fue bloqueado porque sentía que podía ver rápidamente un número y decir qué número era. Lo que significa que el lenguaje no permitía que las personas tuvieran pensamientos de orden superior.

Desde esa perspectiva, creo que los números indios (los números arábigos son un nombre inapropiado) fue el problema. Creo que cuando hablamos de ello, no podemos separar el cero del grupo. Porque cero fue el paso más importante para “completar” el conjunto de números.

Answer 4

Sistemas de coordenadas y geometría analítica. La idea de que una ecuación en x e y corresponde a una curva en el plano xy . Esta conexión fue hecha por Descartes y Fermat alrededor de 1640.

Esto conectó dos ramas de las matemáticas: geometría y álgebra. Ambas son ramas antiguas de las matemáticas, pero el álgebra simbólica solo se desarrolló en el siglo anterior. Tan pronto como se hizo esta conexión, el análisis despegó. Las matemáticas se desarrollaron rápidamente a partir de entonces.

Answer 5

Serie de taylor

Que cada función analítica se pueda aproximar al grado elegido, solo sabiendo que sus propiedades en un punto es mágica.

Además, considerando una función, la expansión de Taylor es a menudo más bella.

Por ejemplo la función exponencial.
Al aire libre
Al aire libre
Se generaliza a las matrices de esta manera, manteniendo las maravillosas propiedades de la función exponencial.

Por ejemplo, dando la solución a y ‘(t) = A * y (t)
Y siendo la base para las ecuaciones diferenciales en muchas variables.

Para funciones con singularidades en el plano complejo (como 1 / x), la serie de Taylor sigue siendo excelente para analizarlas con continuación analítica: con discos superpuestos con expansiones desde puntos donde convergen sus series.

La serie de Taylor también es la base para otros espacios de funciones completos, como las expansiones de Fourier.

Las series de Taylor son no triviales, potentes y muestran una simetría agradable entre el cálculo y los polinomios.

Answer 6

Quizás la noción original de abstracción.

Ser capaz de modelar un objeto físico con uno ideal y “hacer matemáticas” es una noción muy poderosa que sigue siendo bastante molesta (por ejemplo, la efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales).

Por supuesto, no se detiene allí, ya que la abstracción se convierte en una herramienta dentro de las matemáticas. Mediante la aplicación cuidadosa de la abstracción, se pueden elegir propiedades para estudiar (por ejemplo, los enteros no son solo un conjunto, sino también un anillo; el círculo también tiene una estructura de grupo; …) y hacer declaraciones generales sobre TODO lo que tiene esa estructura y, por supuesto, También muestre algo sobre el objeto con el que comenzó.

Answer 7

El sistema de numeración hindú-árabe que incluye cero y nos da valor de posición.

No soy matemático, pero el valor posicional me parece bastante fundamental.

* Los números hindú-árabes fueron inventados por matemáticos hindúes en la India. Fueron llamados “números hindúes”. Más tarde fueron llamados números “árabes” por los europeos, porque fueron introducidos en Occidente por los comerciantes árabes. (Gracias Markandeya Janaswamy por el aviso).

Sistema de numeración hindú-árabe

Answer 8

La geometría fue la base de la ingeniería para el Imperio romano.

El cálculo es básicamente la base de toda la tecnología construida en los últimos cientos de años.

La teoría de juegos y la teoría de la complejidad te permiten predecir el comportamiento humano con precisión …

Probablemente el mayor impacto individual vino de Calc. Muy fundamental para todo lo que tenemos y hacemos hoy. Literalmente un cambio de paradigma.

Desde el punto de vista matemático, hay literalmente cientos de descubrimientos matemáticos muy interesantes y oscuros que son más impresionantes o geniales. Pero desde una perspectiva funcional, los fundamentos son los descubrimientos más importantes.

Answer 9

La idea de que puedes probar las cosas matemáticamente. No estoy seguro de cuál fue la primera prueba matemática, pero no podía ser mucho antes del teorema de Pitágoras o que la raíz cuadrada de 2 fuera irracional. Y esto fue logrado por los griegos.

Antes de ese momento, los chinos, los indios e incluso los babilonios habían encontrado independientemente el teorema de Pitágoras. Pero ninguno de ellos lo había probado. Y, como es lógico, no pudieron progresar mucho, matemáticamente, más allá de eso. Fue el concepto de prueba lo que realmente abrió las matemáticas.

Answer 10

Números imaginarios o “complejos”. Como alguien que ha trabajado durante años con componentes reactivos en el diseño de altavoces y filtros, incluido el software de escritura para ellos, nunca deja de sorprenderme cómo funcionan los números perfectamente complejos. Multiplica algo por sqrt (-1), y llama a esa cosa i, j o ​​lo que sea, y tienes una nueva dimensión.

No se trata solo de las matemáticas vectoriales y requiere un poco de tiempo para acostumbrarse, sino que hace un uso completo del sistema de coordenadas y puede verse desde muchas perspectivas debido a ello. Así que puedes ver solo la respuesta de amplitud, o solo la respuesta de fase. O puedes mirar en términos de una función circular. O en solución como polos y ceros.

Pero donde sospecho que realmente puntúa es en la conceptualización de dimensiones adicionales por qué puede (o se ha convertido) una de las mejores maneras de ver las cosas fuera de nuestro mundo tangible tridimensional. Hubo un tiempo en que los campos magnéticos y eléctricos se creían invisibles. Ahora son casi tan tangibles como cualquier cosa que podamos ver con nuestros ojos. Pero están descritos por números complejos hasta casi la perfección (y si hay una falla, no es nuestra la matemática). Su descubrimiento puso en marcha a la Royal Society en ese momento, aunque nadie pensó entonces que serían descritos perfectamente. Ahora puede obtener software de computadora gratuito que le dirá exactamente cómo se comporta cualquier campo, cortesía de estas matemáticas. Creo que eso es bastante caliente.

Además, sospecho que se usará en el futuro para describir fenómenos que hoy no entendemos.

Answer 11

El descubrimiento de John Naiper de los logaritmos.
Escribió, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614), que contiene material explicativo y tablas de números relacionados con logaritmos naturales. Su obra tiene alrededor de 90 páginas de tabla de registro.

Dos páginas de la tabla logarítmica de Napier:

Answer 12

Estoy de acuerdo con Gina Langridge y otros que dicen que la creación matemática más grande de todos los tiempos fue:

Cero.

Antes de su aceptación generalizada, las matemáticas eran poco más que un sistema de conteo, la aritmética era mucho más difícil y se basaba en el cálculo de “trucos”.

Muchos de los avances logrados por los matemáticos griegos requerían el uso del cero, a pesar de que muchos de ellos no estaban convencidos de su existencia (“¿cómo puede existir una nada ? ‘) Y hay un sinfín de debates filosóficos al respecto hasta la Edad Media.

Hecho, funciona y es esencial.

Answer 13

Ya que estoy a punto de mencionar mi propia creación, podría descalificarla de la ejecución en todas las grandes menciones aquí, pero aquí está … Tuve la suerte de exprimir del fruto de la aritmética básica una nueva constante que todos los ¡eruditos y gigantes del tiempo pasado pasados ​​por alto desde tiempos inmemoriales! Es decir, hay una constante lentamente convergente acumulada de la simple [math] \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ n \ left (n ^ {1 / n} -1 \ right) [/ math] Otros lo nombraron después de mis iniciales por mi problema. No pasó mucho tiempo desde la primera vez que probé su néctar que fue reconocido como miembro de buena fe de uno de los géneros matemáticos. Constante de MRB – de Wolfram MathWorld

Answer 14

Bueno, cuando vi esto no pude dormir en paz por unas semanas. Esto es un poco más hacia el lado filosófico de la matemática, pero creo que es uno de los mejores descubrimientos / creación.

Tiene e, pi, número imaginario, y obviamente 0 y 1. Tiene un inmenso significado filosófico.

También, mira esto

Teoremas de incompleto de Gödel

Answer 15

Que las matemáticas no se descubren sino que se inventan. Es decir, que los objetos matemáticos no están necesariamente ligados al mundo real.

Por ejemplo, el descubrimiento de la geometría no euclidiana, que la geometría no estaba restringida a los planos y espacios convencionales, liberó radicalmente la imaginación y la creatividad de los matemáticos. A su vez, esto liberó a físicos teóricos como Einstein para contemplar el espacio-tiempo curvo en el corazón de la Relatividad General.

Otro ejemplo es la invención de una raíz cuadrada de menos uno y la clase asociada de Números complejos. Estos números obviamente no son reales, pero liberan a la mente para pensar en objetos aún más exóticos que pueden o no tener un uso práctico en el futuro.

Hay muchos ejemplos, pero el primer paso, cada vez que se tomó, de liberar a las matemáticas de las cadenas de la realidad fue un descubrimiento verdaderamente profundo y sorprendente. ¿O debería ser una invención?

Answer 16

El método de la prueba: construir un argumento riguroso, comprensible y concluyente que establezca la validez de un teorema.

Answer 17

El descubrimiento de Eudoxo en alrededor de 375 aC de lo que ahora llamamos el Dedekind Cut. Por primera vez, el número estaba completamente integrado con la geometría. Los números irracionales (es decir, casi todas las longitudes geométricas) podrían tratarse analíticamente (es decir, utilizando proporciones), aunque casi todas las longitudes (los irracionales) no son proporciones en sí mismas. Fue la primera concepción rigurosa y el uso de secuencias infinitas, fue la primera definición rigurosa del concepto de límite, fue la inspiración y el fundamento para el descubrimiento de Arquímedes de lo que se convertiría en cálculo dos mil años después, fue la inspiración y el fundamento para La resurrección de esos conceptos en la Europa del siglo XVI, y fue el primer descubrimiento decisivo para liberar a las matemáticas de los esclavos de lo finito.

Answer 18

La noción misma de cuantificación. En La Medida de la Realidad (ver Revisión del libro: La Medida de la Realidad por Alfred Crosby por Peter Flom en Pensamientos Aleatorios) Alfred Crosby señala que, antes de la Edad Media tardía, la gente en el mundo occidental no pensaba cuantitativamente: no lo hicieron Piensa en el tiempo, el dinero o cualquier otra cosa en la forma en que lo hacemos ahora.

Esto cambió el mundo.

Answer 19

Mi principio matemático favorito (no descubrimiento):

[math] | A | = | B | [/ math] si existe una función biyectiva [math] f: A \ rightarrow B [/ math]. (Todos los valores en [math] B [/ math] se logran exactamente una vez). Si existe una proyección, entonces [math] | A | \ ge | B | [/ math], y si existe una inyección, [math] | A | \ le | B | [/ math].

Answer 20

Creo que contar es el mayor descubrimiento matemático de todos los tiempos. En su forma más simple, el conteo implica la creación de una correspondencia uno a uno. Considera que si contaras un rebaño de ovejas y lo hicieras poniendo una piedra en una canasta por cada oveja que vieras, estarías haciendo una piedra igual a una oveja. Después de contar la idea de nombrar los números viene casi automáticamente, al igual que la idea de que uno más uno es igual a dos. Quien haya descubierto la idea de contar fue un genio, y todo el resto de las matemáticas que tenemos no serían posibles sin este notable invento.