Definiciones precisas. Esto es más un desarrollo que un descubrimiento, pero yo diría que la mayor parte de las matemáticas se caracteriza más precisamente de esta manera.
En los cursos de cálculo para estudiantes que no se especializan en matemáticas o campos relacionados, es común evitar definir las cosas de una manera precisa. Eso puede funcionar para los estudiantes que no necesitan saber muchas matemáticas, pero no es propicio para desarrollar matemáticas rigurosas.
Considere el ejemplo del límite de una secuencia de números reales. En algunas clases de cálculo, los estudiantes aprenderán que una secuencia de números reales [math] x_1, x_2, \ ldots [/ math] converge a un número real [math] x [/ math] (o [math] \ lim_ {n \ a \ infty} x_n = x [/ math]) si [math] x_n [/ math] “se acerca cada vez más a [math] x [/ math] a medida que [math] n [/ math] se hace grande”. Y para los problemas que aparecen en este tipo de clase, esta intuición los llevará lo suficientemente lejos.
Esto no es lo suficientemente preciso para un matemático. Un matemático insistirá en pensar en secuencias como las siguientes. Diga que [math] a_n = 2 ^ {- n} [/ math] si [math] n [/ math] es impar, y [math] a_n = 2 ^ {- n + 2} [/ math] si [math ] n [/ math] es par.
Eso significa que [math] a_1 = 1/2 [/ math], [math] a_2 = 1 [/ math], [math] a_3 = 1/8 [/ math], [math] a_4 = 1/4 [/ math ], [math] a_5 = 1/32 [/ math], [math] a_6 = 1/16 [/ math], y así sucesivamente.
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¿Hay un valor [math] a [/ math] tal que [math] a_n [/ math] se acerque más y más a [math] a [/ math] “a medida que [math] n [/ math] se hace más grande? Bueno, los valores parecen estar acercándose a cero en algún sentido. Es decir, todos los términos después del segundo término están más cerca de [math] 0 [/ math] que los primeros dos términos. Y de manera similar, los términos después del cuarto término están más cerca de [math] 0 [/ math] que de los primeros cuatro. Pero también tenemos un patrón de algunos términos que están más alejados de [math] 0 [/ math] que los términos anteriores a ellos. Por ejemplo, [math] a_2 = 1 [/ math] está más lejos de [math] 0 [/ math] que [math] a_1 = 1/2 [/ math] is, y [math] a_3 = 1/4 [/ math ] está más lejos de [math] 0 [/ math] que [math] a_4 = 1/8 [/ math] es. ¿”Más lejos y luego más cerca y luego más y luego más cerca” cuentan como “más y más cerca”? Ejemplos como este son los motivos por los cuales la clase de cálculo “definición intuitiva” de un límite no es lo suficientemente precisa. Y las cosas se vuelven aún más desesperadas si intentamos probar cualquier tipo de resultado general sobre secuencias con esta “definición intuitiva”.
En una clase de análisis o una clase de cálculo más avanzada, diremos que [math] x_n [/ math] converge a [math] x [/ math] (o [math] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = x [/ math]) si para cada [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe un número natural [math] N \ in \ mathbb {N} [/ math] tal que [math] | x_n-x | <\ epsilon [/ math] siempre que [math] n \ ge N [/ math]. Muchas personas tienen problemas para envolver sus cabezas en torno a esta definición. Los estudiantes de cálculo tienen pesadillas al respecto en sus exámenes.
Con un poco de práctica, esta definición formal de un límite es mucho más fácil de trabajar que la “definición intuitiva” porque es mucho más precisa. Si quiero mostrar que [math] \ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 0 [/ math], entonces necesito mostrar que si me da un número positivo [math] \ epsilon [/ math], Podré encontrar un número natural [math] N> 0 [/ math] tal que [math] | a_n-0 | <\ epsilon [/ math]. Y de hecho, al observar que [math] 0 0 [/ math], vemos que si elegimos [math] N [/ math] lo suficientemente grande como para que [math] 2 ^ {- N + 2} <\ epsilon [/ math] luego en cualquier momento [math] n \ ge N [/ math] tendremos [math] | a_n- 0 | = a_n \ le 2 ^ {- n + 2} \ le 2 ^ {- N + 2} <\ epsilon [/ math]. Esto muestra que la secuencia converge a [math] 0 [/ math].
Más importante aún, podemos usar esta definición para probar todo tipo de afirmaciones generales que involucran límites de secuencias. Declarar las cosas precisamente lo hace posible.
La mencionada “definición intuitiva” de un límite es un ejemplo extremo de una definición imprecisa, por lo que no quiero dejar la impresión de que las nociones “intuitivas” siempre son inútiles. No siempre ha sido una práctica matemática estándar hacer definiciones precisas, y a menudo ha tomado un tiempo hacer rigurosos los nuevos desarrollos matemáticos. La definición moderna de un límite, por ejemplo, no existía en los días de Newton y Leibniz, a quienes se les atribuye el desarrollo de cálculos básicos. De hecho, Newton y Leibniz no trabajaron con límites, sino que emplearon el lenguaje de los infinitesimales. Hoy, no reconoceríamos su trabajo como riguroso (y tenía sus detractores en ese entonces también). No fue hasta la introducción de la noción moderna de un límite en el siglo XIX que el cálculo encontró una base rigurosa. (Los infinitesimales de Newton y Leibniz también eventualmente encontraron una base sólida con el desarrollo de un análisis no estándar a mediados del siglo XX, y nuevamente las buenas definiciones fueron clave para hacer esto posible).
Establecer definiciones precisas para capturar nuestras intuiciones es a veces muy difícil, pero es una parte importante del desarrollo de nuevas matemáticas. Nos permite hacer declaraciones inequívocas y desarrollar pruebas rigurosas.