Abróchense, amigos. Esta será una respuesta larga, con enlaces a muchas otras respuestas largas.
Voy a limitarme a resultados y conceptos que sean razonablemente fáciles de explicar (aunque no necesariamente fáciles de probar). También voy a tratar de dividirme en categorías generales, y generalmente me alejaré de las matemáticas de nivel de posgrado y posgrado. Incluso con estas restricciones masivas, esto no pretende ser una lista exhaustiva. De hecho, comenzaré exactamente con eso.
Conocimientos generales
- Las matemáticas son vastas . Creo que la mayoría de las personas son poco conscientes de que hay algunas cosas más allá del cálculo, pero por lo que puedo decir, muy pocas entienden exactamente cuánto. Las matemáticas han tenido una enorme explosión en los últimos doscientos años, hasta el punto de que ya no es humanamente posible que una persona conozca bien todos los campos y subcampos de las matemáticas.
- Las matemáticas no se trata de números. He escrito antes acerca de cómo el término ‘números’ realmente ha caído en desgracia (¿Se pueden introducir nuevos tipos de números en las matemáticas (como números negativos, números irracionales y números imaginarios)? ¿Es posible que haya nuevos números?) porque no es descriptivo Existen muchos otros tipos de estructuras algebraicas que las que la mayoría conoce, y la distinción entre cuáles son números y cuáles no es muy arbitraria.
- Las matemáticas no se trata de resolver ecuaciones . Las ecuaciones también aparecen a menudo en el trabajo matemático, y hay muchos resultados y conjeturas interesantes sobre la resolución de varios tipos de ecuaciones. También hay muchos resultados muy interesantes sobre cuándo es imposible escribir un algoritmo que resuelva automáticamente (algunas clases de) ecuaciones, o cuando algún sistema de ecuaciones no tiene una solución que pueda expresarse en términos de funciones elementales. Aun así, las ecuaciones son herramientas y están lejos de ser las únicas. Gran parte de la topología se escribe sin una sola ecuación a la vista (sin alguna interpretación liberal de lo que significa una ecuación).
- La matemática es sobre el estudio de la estructura. ¿Qué es la matemática? da una buena visión general de las opiniones de varios matemáticos sobre lo que realmente son las matemáticas.
- Los objetos en matemáticas no se describen por lo que son , sino por lo que hacen . Este es un cambio importante en el pensamiento para muchas personas. Lo describiría con más detalle, pero creo que ya he dado un resumen decente aquí: ¿Cuáles son las cosas que solo los matemáticos doctorales saben?
- Las matemáticas no están limitadas por las leyes de la física, solo por las leyes de la lógica. Quizás esta sea una afirmación ligeramente controvertida, así que déjenme aclarar a qué me refiero. Quiero decir que si descubrimos que el espacio es curvo, eso no hace que la geometría euclidiana sea falsa como teoría matemática. Todavía es tan cierto como cuando Euclides escribió los Elementos , es solo que hemos descubierto que no es un buen modelo para el espacio-tiempo. Los matemáticos modernos no se preocupan demasiado acerca de si habrá un modelo físico para cualquier estructura matemática que creen. Esto ha llevado a una libertad significativamente mayor, la capacidad de establecer conexiones inesperadas y la productividad.
- Las matemáticas son útiles . Esto es muy sorprendente, considerando el punto anterior. Sin embargo, cuando está construyendo algo en matemáticas, nunca sabe exactamente cómo se conectará con todo lo demás y, como resultado, nunca sabe realmente dónde / cómo / si será útil. El famoso ejemplo de la teoría de números que resulta ser una herramienta valiosa en criptografía se ha mencionado en otra respuesta.
- Las matemáticas son fundamentalmente creativas. Hilbert, uno de los matemáticos más famosos del siglo pasado, una vez comentó sobre uno de sus antiguos alumnos que el joven no había sido lo suficientemente creativo como para ser matemático, pero ahora que se había convertido en poeta, estaba bien. Lengua en la mejilla, aunque este comentario puede haber sido, tiene un núcleo de verdad. Debido a que las matemáticas están limitadas solo por las leyes de la lógica, hay conexiones muy sorprendentes y profundas que uno puede encontrar, si uno es lo suficientemente creativo como para verlo. Nos guste o no, todos tenemos modelos mentales internos de para qué se utilizan los diversos campos de las matemáticas y de qué se tratan. Ver que un campo de las matemáticas tiene algo que decir sobre otro campo no es un ejercicio trivial. Considere la posibilidad de que Descartes se dé cuenta de que había una conexión entre las ecuaciones y la geometría, lo que lleva al plano cartesiano que ahora damos por sentado. Considere el descubrimiento, que se remonta a Galois, que hay una conexión entre el álgebra lineal (que se refiere a sistemas de ecuaciones, matrices, etc.), soluciones a ecuaciones polinómicas (¿por qué hay un cuadrático, cúbico y cuártico? fórmula, pero no fórmula quíntica?), y la constructibilidad de ciertos objetos en geometría (¿por qué no se puede trisecar un ángulo con una regla y un transportador?). ¿No fueron estos actos creativos?
Números y sistemas de números
- ¿Por qué la gente nunca se queja de los cargos por enfriamiento?
- ¿A quién desprecias más?
- ¿Por qué la gente ama los juegos?
- ¿Por qué a algunas personas les encanta escuchar mis ideas mientras que otras quieren que me calle de inmediato?
- ¿Qué etiquetas utiliza para clasificar a las personas y en función de qué criterios?
- Un número no es su representación . Muchas personas se confunden cuando ven algo como [matemáticas] 0.999 \ ldots = 1 [/ matemáticas], porque aquí hay dos cosas diferentes que se les dice que son lo mismo. Las personas a veces también hacen preguntas que son extrañas para un matemático, como si los números primos son diferentes en la base 2 o en la base 12. Permítanme aclarar: hay muchas formas diferentes de representar un número. Eso va para números enteros, números racionales, números reales y cualquier otra cosa que desee llamar a un número (ya me he quejado de la ambigüedad de esta palabra). De hecho, muchas veces, hay muchas formas diferentes de representar cualquier cosa. La representación no importa: vea el punto 5 anterior. Desafortunadamente, esto es comprensiblemente confuso, ¡porque la mayoría de las personas no aprenden qué son realmente los números reales!
- Los números reales son raros. Para empezar, son mucho más grandes de lo que probablemente te des cuenta (mira más abajo en la sección sobre teoría de conjuntos). La forma en que se definen es un poco funky: es un proceso de ‘llenar agujeros’. Empiezas con los racionales. Los racionales tienen un pequeño problema: es posible que una secuencia de números racionales [matemática] a_n [/ matemática] se acerque más y más a algo (comenzando con mayor precisión, los términos [matemática] a_n [/ matemática] se acercan) y más cerca uno del otro), pero ese algo no es un número racional. Por ejemplo, si [math] F_n [/ math] es el [math] n [/ math] -th número de Fibonacci, entonces [math] \ frac {F_ {n + 1}} {F_n} [/ math] es un número racional, y puede probar que esta secuencia de números racionales está cada vez más cerca a medida que [math] n [/ math] se vuelve muy grande, pero el límite no es un número racional. Es, de hecho, la proporción áurea, [matemática] \ phi = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} [/ matemática]. He escrito sobre las propiedades especiales de este número antes. Para solucionar este problema de los racionales, agregue elementos en ellos para cada secuencia como esta, ‘rellenando los agujeros’ o (como es el término matemático real) completando los números racionales. Puede detectar el problema de que tendrá diferentes secuencias que deberían corresponder al mismo número real (es decir, diferentes secuencias de los racionales que deberían tener el mismo límite). Hay una forma formal de arreglar esto, pero tomaré una ruta informal (que podrías hacer rigurosa): dos números reales [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son iguales si [matemática] | x – y | <\ frac {1} {n} [/ math] para cualquier entero positivo [math] n [/ math]. Esto, por cierto, prueba que [matemáticas] 0.999 \ ldots = 1 [/ matemáticas].
- Los números reales son muy raros. La mayoría de los números que maneja en la práctica son computables : es decir, existe algún algoritmo que le dará este número con la precisión que desee (por ejemplo, puede calcular tantos términos de la expansión decimal como desee). [math] \ pi [/ math], [math] \ sqrt {2} [/ math] y [math] 1/3 [/ math] son computables. Sin embargo , ¡la mayor parte de todos los números reales no son computables! Existen, pero no puedes escribirlas explícitamente.
- Los números complejos no son muy raros. Personalmente, creo que los números irrebatibles son mucho más merecedores del nombre ‘imaginario’ que los viejos [math] i [/ math]. Mientras que el cambio de números racionales a números reales se agrega a muchos elementos nuevos (y quiero decir mucho ), el cambio de números reales a números complejos es mucho, mucho más sencillo. El proceso de tachuelas en la raíz de alguna ecuación polinómica se llama extensión algebraica , y ocurre con frecuencia en las matemáticas. Hay muchas formas de entenderlo. Para los números complejos, esto está bien cubierto por esta publicación de Quora: ¿Son los números complejos realmente indispensables? ¿Hay situaciones o problemas que son imposibles de resolver sin incluir números complejos en la imagen?
- Los números complejos son enormemente útiles. Probablemente haya mejores argumentos sobre esta afirmación, pero sé que he escrito sobre esto antes en este sitio aquí.
- Ni [math] \ sqrt {2} [/ math] ni [math] \ pi [/ math] son particularmente raros. Por alguna razón, el hecho de que [math] \ sqrt {2} [/ math] y [math] \ pi [/ math] no tienen una expansión decimal finita o en bucle asusta a algunas personas. Sin embargo, ambos son números computables, y ambos tienen algunas representaciones muy bonitas. Por ejemplo [matemáticas] \ pi = \ sqrt {6 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2}} [/ matemáticas], [matemáticas] \ sqrt {2} = 1 + \ cfrac {1} {2 + \ cfrac {1} {2 + \ ddots}} [/ math]. Adjuntar [math] \ sqrt {2} [/ math] a los números racionales en particular es bueno, porque es una extensión algebraica.
Establecer teoría e infinito
- El infinito no es un concepto bien definido. Para ser un poco más exactos, hay muchas nociones diferentes que un matemático podría tener en mente cuando habla de “infinito”, y todos son bastante diferentes. Los laicos a menudo tienen problemas porque comienzan a tratar el infinito como un número y combinan diferentes conceptos de lo que es el infinito, lo que naturalmente conduce a la confusión y a resultados erróneos. La noción de ‘infinito’ que trataré en esta sección es la idea de ‘conjuntos infinitos’.
- Los juegos infinitos vienen en muchos tamaños diferentes. Para ser más precisos, existe una noción de “tamaño” que los matemáticos atribuyen a conjuntos infinitos, que se llama cardinalidad . Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si puede hacer coincidir los elementos de los dos conjuntos; por ejemplo, no necesita contar el número de patas en un milpiés para saber que hay tantas patas en el lado derecho como hay a la izquierda, porque puedes unirlos directamente. Sorprendentemente, los números naturales, los números pares y los racionales se pueden combinar de esta manera, por lo que tienen la misma cardinalidad (decimos que son infinitamente contables ). Los números reales, sin embargo, tienen otra cardinalidad más grande.
- Los números pares tienen la misma cardinalidad que los enteros. Sé que técnicamente ya mencioné eso en el punto anterior, pero quería reiterar esto simplemente porque es muy contra-intuitivo para la mayoría de las personas que ven la teoría por primera vez. Para una discusión más profunda sobre la intuición de esto, puede mirar aquí: ¿Cuál es una explicación intuitiva de por qué hay un número igual de números enteros y pares?
- No hay un conjunto ‘más grande’. Puedes seguir construyendo conjuntos de cardinalidad cada vez más grande. En cierto sentido, este problema fundamental es lo que llevó a la paradoja de Russell y obligó a los lógicos a reexaminar los fundamentos de las matemáticas.
Funciones y Análisis Real
- Una función no es una ‘regla’. He descubierto que muchas personas tienen la idea errónea de que una función es algún tipo de regla como [matemática] f (x) = x ^ 2 + 3 [/ matemática] o tal vez [matemática] f (x) = e ^ {- x ^ 2} [/ matemáticas]. Eso no está del todo mal, pero sería más correcto pensar en una función como una forma de combinar entradas y salidas. Es decir, tienes una especie de caja negra. Usted le da una entrada a este cuadro negro, y le devolverá una salida; la única restricción real es que, dada una entrada particular, la salida siempre debe ser la misma. No puede ser ‘azul’ cuando lo desea, pero a veces ‘rojo’, y si está teniendo un día realmente malo, devolverá ‘5’. El conjunto de entradas que tomará el cuadro negro es el dominio. El conjunto de salidas es el codominio. Eso es. Esa es toda una función. Por ejemplo, el ejemplo que doy aquí es completamente kosher. Dicho esto, de aquí en adelante, asumiré que mis funciones son de los números reales a los números reales.
- La mayoría de las funciones no son continuas en ninguna parte. Por supuesto, esto depende de cómo elija definir ‘más’, pero casi cualquier definición razonable le dará este resultado. Aquí hay un ejemplo explícito de una función como esta: [math] 1_ \ mathbb {Q} (x) [/ math] es 1 si [math] x [/ math] es racional, pero 0 si [math] x [/ matemáticas] es irracional.
- Existe una función que es continua en un solo punto. [math] f (x) = x 1_ \ mathbb {Q} (x) [/ math] hará esto.
- Existe una función que es suave en un solo punto.
- Existen funciones que son suaves pero no analíticas (es decir, no convergen a sus expansiones de Taylor). Escribí bastante extensamente sobre esto aquí.
- Existen funciones que son suaves y analíticas en todas partes . Di un ejemplo aquí. En breve,
- Las funciones de valor real tienen un comportamiento mucho más pobre que el que tienen.
Análisis complejo
- Las funciones de valor complejo se comportan mucho mejor de lo que tienen derecho a ser . Específicamente, me refiero a funciones que tienen derivadas complejas. Lo sorprendente es que si una función compleja es una vez diferenciable, entonces es dos veces, tres … diferenciable. De hecho, ¡será analítico! Llamamos a tales funciones holomorfas .
- Las funciones holomórficas son casi lo mejor de la historia. Como teórico analítico de números, probablemente soy parcial, pero nunca deja de sorprenderme lo estructuradas que son las funciones holomórficas. Una función holomórfica se puede reconstruir completamente (o al menos, hasta una constante) a partir de piezas lamentablemente pequeñas de información, a veces tan poco como saber qué tan rápido crece y dónde es cero. Si bien ya he incluido este enlace, vale la pena repetir que las funciones holomórficas son tremendamente útiles: ¿Existen realmente los números imaginarios, y hay alguna cantidad física que sea realmente compleja?
Diverso
- No es correcto decir la cuarta dimensión. Deberías decir una cuarta dimensión. Esto es algo así como un motivo favorito mío. Escribí sobre esto aquí: ¿Cuál es la quinta dimensión? ¿Hay otras dimensiones más allá de la 5ta? Permítanme ampliar esto un poco para señalar que solo decir ‘dimensión’ tiene muchas de las mismas dificultades que decir ‘infinito’.
- Existen diferentes definiciones de ‘dimensión’ según el contexto. Existe la dimensión de un espacio vectorial sobre un campo (que generalmente son los números reales o complejos, pero podrían ser muchas otras cosas ). Existe la dimensión de un múltiple (una noción conectada, pero sin embargo diferente). Existe la dimensión de Krull. Existe la dimensión de Hausdorff. Lo que sea, lo tenemos.
Por ahora, creo que terminaré mi respuesta aquí. Si tengo alguna idea brillante, o si hay sugerencias / solicitudes específicas, podría agregar algunas cosas más.