Paradójicamente, casi todas las funciones que verás prácticamente son fluidas y, sin embargo, en un sentido moral estricto, si tuvieras que seleccionar aleatoriamente una función continua, ni siquiera esperarías que alguna vez fuera diferente.
Dicho esto, aquí hay algunas funciones suaves interesantes:
- [math] f (x) = x [/ math]: proof by duh.
- [math] f (x) = e ^ x [/ math]: curioso porque es su propio derivado (lo que demuestra que es suave).
- [math] f (x) = \ sin (x) [/ math]: esto se puede escribir como [math] \ frac {e ^ {ix} – e ^ {- ix}} {2i} [/ math], lo que demuestra que es suave.
- [math] f (x) = e ^ {- \ frac {1} {x ^ 2}} \ (\ text {for} x \ neq 0) [/ math], y [math] f (0) = 0 [/ math]: esta es una función curiosa, porque con algún cálculo puede mostrar que es suave en todas partes, y sin embargo, todos sus derivados son 0 en [math] x = 0 [/ math], lo que significa que no converge a su expansión de Taylor en ese punto. Es el ejemplo habitual dado para una función que es suave pero no analítica.
- [math] f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty e ^ {- \ sqrt {2 ^ n}} \ cos \ left (2 ^ nx \ right) [/ math]: aún más extraño Función que en todas partes es suave, pero en ninguna parte analítica.
Para aquellos de ustedes, como yo, que se interesaron mucho en descubrir cómo se vería el número 5, aquí hay un pequeño argumento que hice: 
Puedes ver que la función se ve bastante suave, pero hay un montón de “bultos” en ella, lo que evita que sea analítica.