¿Las matemáticas se basan en la verdad o la lógica?

Si las matemáticas se han encontrado en la verdad, ¡entonces también existía antes! Las lógicas fallan a veces, pero deducimos el resultado en función de las lógicas y la verdad de ambas. Para estudiar más a fondo, te sugiero que leas el texto completo que estoy adjuntando … ”
¿Se inventan o se descubren las matemáticas?
por
Derek Abbott Físico e ingeniero electrónico.
Las matemáticas son el lenguaje de la ciencia y han permitido a la humanidad hacer avances tecnológicos extraordinarios. No hay duda de que la lógica y el orden que sustentan las matemáticas nos han servido para describir los patrones y la estructura que encontramos en la naturaleza.
Los éxitos que se han logrado, desde la matemática del cosmos hasta los dispositivos electrónicos a microescala, son significativos. Einstein comentó: “¿Cómo puede ser que las matemáticas, después de todo un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, sea tan admirablemente apropiada para los objetos de la realidad?”
Entre los matemáticos y científicos no hay consenso sobre esta pregunta fascinante. Los diversos tipos de respuestas al enigma de Einstein incluyen:
1) La matemática es innata. La razón por la cual las matemáticas es el lenguaje natural de la ciencia, es que el universo está sustentado por el mismo orden. Las estructuras de las matemáticas son intrínsecas a la naturaleza. Además, si el universo desapareciera mañana, nuestras verdades matemáticas eternas seguirían existiendo. Depende de nosotros descubrir las matemáticas y su funcionamiento, esto nos ayudará a construir modelos que nos brinden poder predictivo y comprensión de los fenómenos físicos que buscamos controlar. Esta posición bastante romántica es lo que yo llamo libremente platonismo matemático.
2) La matemática es una construcción humana. La única razón por la que las matemáticas son admirablemente adecuadas para describir el mundo físico es que lo inventamos para hacer precisamente eso. Es un producto de la mente humana y creamos las matemáticas a medida que avanzamos para adaptarnos a nuestros propósitos. Si el universo desapareciera, no habría matemáticas de la misma manera que no habría fútbol, ​​tenis, ajedrez o cualquier otro conjunto de reglas con estructuras relacionales que creamos. La matemática no se descubre, se inventa. Esta es la posición no platónica.
3) Las matemáticas no tienen tanto éxito. Aquellos que se maravillan ante la ubicuidad de las aplicaciones matemáticas quizás hayan sido seducidos por una exageración de sus éxitos. Las ecuaciones matemáticas analíticas solo describen aproximadamente el mundo real, e incluso entonces solo describen un subconjunto limitado de todos los fenómenos que nos rodean. Tendemos a centrarnos en los problemas físicos para los que encontramos una forma de aplicar las matemáticas, por lo que el énfasis excesivo en estos éxitos es una forma de “recolección de cerezas”. Esta es la posición realista.
4) Mantener la calma y continuar. Lo que importa es que las matemáticas producen resultados. Guarda el aire caliente para los filósofos. Esto se llama la posición de “callar y calcular”.
El debate sobre la naturaleza fundamental de las matemáticas no es en absoluto nuevo, y se ha prolongado desde la época de los pitagóricos. ¿Podemos usar nuestra visión retrospectiva ahora para arrojar alguna luz sobre las cuatro posiciones anteriores?
Un desarrollo reciente en el último siglo fue el descubrimiento de fractales. Hermosos patrones complejos, como el conjunto de Mandelbrot, pueden generarse a partir de simples ecuaciones iterativas. Los platónicos matemáticos señalan con entusiasmo que los patrones fractales elegantes son comunes en la naturaleza, y que los matemáticos los descubren claramente en lugar de inventarlos. Un argumento en contra es que cualquier conjunto de reglas tiene propiedades emergentes. Por ejemplo, las reglas del ajedrez son claramente un artilugio humano, pero resultan en un conjunto de características elegantes y, a veces, sorprendentes. Hay un número infinito de posibles ecuaciones iterativas que uno puede construir, y si nos enfocamos en el pequeño subconjunto que resulta en hermosos patrones fractales, simplemente nos hemos seducido a nosotros mismos.
Tomemos el ejemplo de los monos infinitos en los teclados. Parece milagroso cuando un mono individual escribe un soneto de Shakespeare. Pero cuando vemos todo el contexto, nos damos cuenta de que todos los monos simplemente están escribiendo tonterías. De manera similar, es fácil dejarse seducir y pensar que las matemáticas son milagrosamente innatas si estamos demasiado centrados en sus éxitos, sin ver el panorama completo.
La visión no platonista es que, primero, todos los modelos matemáticos son aproximaciones de la realidad. En segundo lugar, nuestros modelos fallan, pasan por un proceso de revisión e inventamos nuevas matemáticas según sea necesario. Las expresiones matemáticas analíticas son un producto de la mente humana, adaptadas a la mente. Debido a nuestra capacidad intelectual limitada, buscamos descripciones matemáticas compactas y elegantes para hacer predicciones. No se garantiza que esas predicciones sean correctas, y siempre se requiere una verificación experimental. Lo que hemos presenciado en las últimas décadas, al reducirse el tamaño de los transistores, es que no son posibles las expresiones matemáticas compactas para transistores ultra pequeños. Podríamos usar ecuaciones altamente engorrosas, pero ese no es el punto de las matemáticas. Así que recurrimos a simulaciones por ordenador utilizando modelos empíricos. Y esta es la cantidad de ingeniería de vanguardia que se realiza en estos días.
La imagen realista es simplemente una extensión de esta posición no platónica, enfatizando que las expresiones matemáticas analíticas compactas del mundo físico que nos rodea no son tan exitosas o ubicuas como nos gustaría creer. La imagen que surge constantemente es que todos los modelos matemáticos del mundo físico se descomponen en algún momento. Además, los tipos de problemas que abordan las expresiones matemáticas elegantes son un subconjunto que se reduce rápidamente de todas las preguntas científicas emergentes.
Pero ¿por qué todo esto importa? La posición de “cállate y calcula” nos dice que no nos preocupemos por tales preguntas. Nuestros cálculos son los mismos, no importa lo que creamos personalmente; así que mantén la calma y continúa.
Yo, por mi parte, creo que la pregunta es importante. Mi historia personal es que solía ser platonista. Pensé que todas las formas matemáticas estaban reificadas y esperando ser descubiertas. Esto significó que luché filosóficamente con llevar límites al infinito, por ejemplo. Simplemente me acostumbré y lo acepté sufriendo. Durante mis días de licenciatura, tuve un momento de iluminación y me convertí al no platonismo. Sentí una gran carga de mis hombros. Si bien esto nunca afectó mis cálculos específicos, creo que una posición no platónica nos da una mayor libertad de pensamiento. Si aceptamos que las matemáticas se inventan, en lugar de descubrirse, podemos ser más atrevidos, hacer preguntas más profundas y estar motivados para crear más cambios.
¿Recuerdas cómo los números irracionales petrificaron a los bejesus de los pitagóricos? ¿O el tiempo interminable que le tomó a la humanidad introducir un cero en la aritmética? ¿Recuerda los siglos de debate que tuvieron lugar sobre si los números negativos son válidos o no? Imagínese dónde estaría hoy la ciencia y la ingeniería si este argumento se resolviera siglos antes. Son los estragos del pensamiento platonista que han frenado el progreso. Sostengo que una posición no platónica nos libera de una camisa de fuerza intelectual y acelera el progreso.

Considere las siguientes afirmaciones:

0 = 0

lo que implica: 5 x 0 = 2 x 0

lo que implica el ingreso: 5 = 2 x 0 ÷ 0

lo que implica la entrada: 5 = 2 x 1

por lo tanto: 5 = 2

Las declaraciones anteriores constituyen una prueba para 5 = 2. La prueba es lógica pero no verdadera . La prueba supone que X ÷ X = 1 para cualquier valor de X. Pero matemáticamente , la prueba es incorrecta porque en verdad X ÷ X = 1 para cada valor de X excepto 0. Matemáticamente, 0 ÷ 0 no está definido y la división es prohibido

Espero poder ilustrar la sutil diferencia entre las matemáticas, la lógica y la verdad. Si no, déjame aclarar. Todas las afirmaciones matemáticas son sentencias lógicas, pero todas las afirmaciones lógicas no son afirmaciones matemáticas. Para que una afirmación sea matemáticamente verdadera , debe ser lógica y científicamente verdadera. Para que una declaración sea matemáticamente falsa , debe ser lógicamente falsa o científicamente falsa.

Permítanme ilustrar mejor la diferencia entre la lógica y las matemáticas con otro ejemplo. Imagina a una persona lanzando una moneda. Lo hace 100 veces y cada vez el resultado es Jefes. Entonces, un robot que está diseñado para ser lógico , dirá que el resultado del próximo lanzamiento definitivamente será Jefes. Pero un robot que está diseñado para ser matemático , razonará que los 100 lanzamientos anteriores no pueden afectar de ninguna manera el resultado del lanzamiento 101 y, por lo tanto, la probabilidad de que el resultado sea Heads es de 0.5. Espero que el lector entienda el punto que estoy tratando de hacer. El razonamiento lógico más los principios científicos constituyen las matemáticas.

En otras palabras, las matemáticas se basan tanto en la lógica como en la verdad. La lógica es lo que une una afirmación matemática y la siguiente afirmación matemática. La verdad es lo que hace matemáticamente válida una afirmación.

Gracias por leer.

Solo lógica, revisa las paradojas de zeno

1. En una carrera, el corredor más rápido nunca puede adelantar al más lento, ya que el perseguidor debe primero llegar al punto donde comenzó el perseguido, de modo que el más lento siempre debe tener una ventaja.

2. Lo que está en la locomoción debe llegar a la etapa intermedia antes de llegar a la meta.

3. Si todo, cuando ocupa un espacio igual, está en reposo, y si lo que está en locomoción siempre ocupa ese espacio en cualquier momento, la flecha volante está, por lo tanto, inmóvil.

4. Si todo lo que existe tiene un lugar, el lugar también tendrá un lugar, y así ad infinitum.

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