Devi era una calculadora mental muy talentosa, pero de ninguna manera era el prodigio extremo que se le había dado a conocer en los medios, y ciertamente no podía tomar la raíz 23 de un número “más rápido que una computadora”.
Era una estrella del espectáculo: creció viajando con su padre y dando presentaciones, y cuando su padre se hizo demasiado viejo, viajó sola y le envió dinero a su familia. El campo moderno de las calculadoras mentales generalmente se aleja de palabras como “prodigio” o “genio”. El cálculo mental está obviamente relacionado con las matemáticas, pero muchas de las calculadoras mentales históricamente grandes no tenían un conocimiento particular de las matemáticas per se.
Al llamarla un “showman realizado”, no quiero denigrarla en absoluto, sino todo lo contrario. Es una forma de arte intrincada y antigua, que data al menos de la década de 1700, más parecida a la obra de un ilusionista que la de un profesor de matemáticas. Se necesita mucho trabajo y dedicación para ser un buen ilusionista de cualquier tipo. Devi nació y realizó, en una era más simple, una antes de Internet y las computadoras que han deconstruido gran parte de la “magia” de estos artistas. Y su historia en particular, como una niña pobre que viaja a la India y se gana la vida para su familia con sus manifestaciones, nos atrae profundamente. Sobre todo porque, por todas las cuentas que he leído de quienes la conocieron, ella era una persona muy especial.
(Si desea una demostración de la “poderosa magia” del cálculo mental, simplemente busque en Internet los trucos para resolver la tercera y la quinta raíz de los enteros grandes en su cabeza. Asombrará a sus amigos y familiares con solo un pequeño esfuerzo de memorización de memoria.)
Hay algunas cosas que primero debes saber acerca de los cálculos mentales de este tipo. La mayoría de ellos están relacionados con la memorización y la coincidencia de patrones, y ponen varias restricciones significativas en los problemas que se plantean. Si no estás versado en las artes, algunos trucos que parecen muy difíciles son bastante simples. Eso, después de todo, es el arte general de la ilusión.
Hoy en día, esta forma de arte se llama “mathemagic”, y los “matemáticos” notables incluyen a Martin Gardner, Arthur T Benjamin, Raymond Smullyan y Persi Diaconis.
Déjame tomar un ejemplo de la vida de Devi, antes de saltar a la pregunta real. Famoso, Devi viajó a los EE. UU. En 1988, incluida una visita a San Francisco. Un profesor de psicología en Berkeley asistió a uno de estos eventos, y publicó un artículo al respecto en 1990 (“Velocidad de procesamiento de información en un producto de cálculo”, Arthur R. Jensen, INTELLIGENCE 14, 259-274).
Tomaré un ejemplo de este artículo para explicar mi punto. Jensen describe cómo le dio dos preguntas a Devi en las tarjetas que había preparado:
“Cuando le di a Devi dos problemas, cada uno en una tarjeta separada, pensando que ella resolvería el primero, luego el otro, mi esposa quedó sorprendida, ya que casi no había tiempo para encender el cronómetro, tan rápida fue la respuesta de Devi. dos cartas una al lado de la otra, Devi las miró brevemente y dijo: “La respuesta a la primera es 395 y a la segunda es 15. ¿Correcto?” ¡Claro, claro! (Sus respuestas nunca fueron incorrectas). Entregar las cartas de nuevo, me pidió que leyera los problemas en voz alta a la audiencia, que eran: (a) la raíz cúbica de 61,629,875 (= 395), y (b) la raíz 7 de 170,859,375 (= 15). Me decepcionó bastante. que estos problemas parecían obviamente demasiado fáciles para Devi, ya que esperaba que obtuvieran algún signo de tensión mental de su parte. Después de todo, me había costado mucho más trabajarlos con una calculadora ”
Tomemos el primero, raíz cúbica de 61.629.875. La tercera raíz de un número de 8 dígitos tendrá exactamente tres dígitos (porque estará entre 215 y 464). El tercer dígito es trivial, porque un número en cubos, módulo 10, solo depende del último dígito. De hecho, la mayoría de los dígitos son idénticos: si el último dígito de un cubo es 1, 4, 5, 6, 9 o 0, entonces es el mismo en la raíz; 2 y 8 intercambian lugares al igual que 3 y 7. Así que sabemos que el último dígito es “5”. El primer dígito también es trivial, en un cubo de 8 dígitos solo puede ser 2, 3 o 4. En este caso, 61 está cerca de 64, que es de 4 cubos. De hecho, está muy cerca, por lo que sabemos que la respuesta estará justo por debajo de 400, porque 400 cubos es 64,000,000. Ahora, ¿qué número de 3 dígitos está justo debajo de 400 y termina en 5?
Es por eso que Devi solo tardó unos segundos en responder. Jensen, un psicólogo, no conoce el arte. Del mismo modo que se necesita un mago para explicar lo que hace otro mago, se necesita una calculadora mental para explicarle el campo. Lo que parece sorprendente (¡una raíz cúbica de 61,629,875 en dos segundos!) Podría ser sencillo si conoces el “comercio”.
Aunque Jensen no era un juez apropiado de estas hazañas mentales, la sometió a una amplia gama de pruebas psicológicas, y esas son las partes que son valiosas de leer en su artículo. En particular, no obtuvo una calificación excepcional en ninguna área cognitiva, excepto en la memoria de los números.
En el caso de Devi, no sabemos qué técnicas usó para esta demostración. ¿Por qué? Porque ella nunca le dijo a la gente. ¿Y por qué ella? Se había ganado la vida desde el jardín de infantes como artista. Los artistas profesionales no revelan su magia. Si lo hacen, ya no es mágico.
Pero muchas otras calculadoras mentales han compartido detalles, muchas al menos a la par con las habilidades de Devi y varias claramente más fuertes: personas como Wim Klein, Hans Eberstark, Gert Mittring y Alexis Lemaire, esta última probablemente la mejor calculadora mental viviente.
Ahora, vamos a acercarnos un poco más a la pregunta real.
La historia original es que en 1977, en la Southern Methodist University de Dallas, Devi extrajo la raíz número 23 de un número de 201 dígitos. Como se informó en ese momento (Dallas Morning News, 26 de enero y más tarde un poco más sensacionalista en un editorial el 6 de febrero), el problema se le presentó a partir de un cálculo en un Univac 1101 en la Oficina de Normas, y tomó la computadora. más de un minuto para calcularlo, pero a Devi le tomó solo 50 segundos. Por lo tanto, ella había “golpeado la computadora”, que se convirtió en el tema de la cobertura de los medios y contribuyó enormemente a su fama.
El problema, como se planteó, fue tomar la raíz 23 de este número:
916.748.676.920.039.158.098.660.927.585.380.162.106,680,144, 68, 816, 422, 016, 519, 067, 589, 067, 598, 59, Tarea, 5 de la tarde, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 15, 5, 15, 5, 5, 5, 5, 5, 5
La respuesta (en caso de que no sea inmediatamente evidente para usted) es 546,372,891.
Lo primero que se debe tener en cuenta es que el Univac 1101 y Devi estaban resolviendo dos problemas completamente diferentes. Subir un número de nueve dígitos a la potencia 23, por ejemplo, multiplicar un número 23 veces, es un problema mucho más difícil que tomar la raíz 23, si sabe que el resultado será un número entero.
(Parenthéticamente, el “1101” es probablemente un error tipográfico o algún otro error. Ese modelo es una computadora de tubo de vacío de 1951 que podría hacer aproximadamente tres multiplicaciones por segundo. Otros informes dicen Univac 1106 o 1108, pero eso fue de 1969 y también un poco viejo en ese momento. La “Oficina de Normas” era responsable de administrar los datos del censo de EE. UU. 1110, que se lanzó en 1972. Aunque el hecho de que alguien eligiera un Univac en 1977 es otro misterio, ya que para entonces IBM ya había tomado el control de la industria, pero “Univac” era famoso y conocido por los lectores, después de haber predicho la elección presidencial en 1952. en vivo en la televisión. Así que probablemente fue equivalente en la mente de una “gran computadora”.
En general, la dificultad no radica en el tamaño del número (201 dígitos) o la potencia (23). Es el número de dígitos en la respuesta. Ahora, la raíz número 23 de un número de 201 dígitos tendrá nueve dígitos. ¿Recuerda el ejemplo anterior, de una tercera raíz que dio como resultado una respuesta de 3 dígitos? El principio y el final son triviales, el medio requiere algo de pensamiento.
El mismo principio sigue aplicándose a los poderes más grandes, excepto que la noción de “trivial” se vuelve “bastante difícil”, y la noción de “algún pensamiento” se vuelve “eso es realmente difícil”.
En este caso, nueve dígitos, los dos del medio son los difíciles, los tres primeros y los últimos cuatro son “fáciles”.
Los últimos cuatro (2891) de la respuesta están completamente determinados por los últimos cuatro (6771) del cubo.
Si desea probar eso, intente elevar el número xxx, xx2,891 a la potencia de 23 e inserte los números que desee para la “x”: s. De hecho, puede tomar cualquier entero que termine con “2891” y llevarlo a la potencia 23 y el resultado terminará en 6771.
Para saber qué cuatro dígitos se traducen a qué cuatro dígitos, hay un montón de tablas que necesita memorizar, pero eso no es tan difícil como parece. Por ejemplo, la elección de “23” no es aleatoria. Las potencias de los enteros donde la potencia es de la forma (4n + 3) tienen patrones (simples) para los dígitos finales. En particular, el último dígito no se modifica, por lo que no tiene que recordarlo en absoluto. Elegir la potencia adecuada (23 en este caso) se traduce en tablas más simples para memorizar este paso.
Ahora, mire cuidadosamente los primeros seis dígitos – “916748”. El número “48” está justo al lado de “50”, lo que significa que este número de seis dígitos está a medio camino entre “916700” y “916800”. Pronto veremos cómo esto ayuda.
Comencemos tomando los primeros cuatro (9167) y factorizándolos, eso es 89 * 103. A continuación, aplicamos tablas de registro, al menos esa es una de las técnicas estándar. Para este paso, asumiré que Devi ha memorizado los primeros 150 registros aproximadamente a cinco dígitos decimales.
El registro (base 10) de cada factor es 1.94939 y 2.01284, respectivamente. Sumando las mantisas se obtienen 0,96223. Recuerde que log (xy) = log (x) + log (y).
Ahora vamos a tomar el “otro” número, 9168. Eso factores en 48 y 191. Una vez más, tomando las mantisas de los registros y sumándolos, obtenemos 0.68124 + 0.28103 = 0.96227.
Como “48” está tan cerca de la mitad entre 0 y 100, en este ejemplo, la interpolación entre 0.96223 y 0.96227 es simple, obtenemos 0.96225.
Por lo tanto, sabemos que el log base 10 del número completo de 201 dígitos es aproximadamente 200.96225. Dividimos esto por 23, y obtenemos 8.73749 (primero podemos simplificar observando que 200 dividido por 23 es 8 con el resto 16, y en su lugar dividimos 16.96225).
El truco ahora es estimar el registro anti para 0.73749. Cuanto más precisos lo obtengamos, más cerca estaremos de la respuesta correcta.
Puede haber técnicas más inteligentes en esta etapa de las que conozco, pero si hemos memorizado los registros de todos los números hasta 1000, entonces lo sabemos:
Mantisa (log (546)) = 0.73719
Mantisa (log (547)) = 0.73799
Ahora estos registros están separados por 0.0008, por lo que interpolamos linealmente 0.0003 en esto: y 3/8 = 0.375. Esta es una interpolación curiosamente simple.
Así que nuestro antilog estimado de 0.73749 es 5.46375.
Ahora es un poco complicado, ¿redondeamos hacia arriba o hacia abajo? ¿Se convierte “75” en “7” u “8”? No es tan difícil como parece, ya que “75” está en el límite, la respuesta es fácil: los logaritmos crecen más lentamente que los lineales, por lo que la interpolación sobreestimará ligeramente.
Así que finalmente tenemos nuestra respuesta: los primeros cinco dígitos son 54637, y antes sabíamos que los últimos cuatro dígitos son 2891, y obtenemos:
546,372,891
¿Sencillo? Jaja, no, no especialmente.
¿Devi tuvo que memorizar 1000 logaritmos a 5 dígitos? Eso no es tan difícil como parece para alguien con (mucho) talento para recordar números. Hay patrones claros.
La mayor demanda de tablas de registro grandes está en la precisión del antilog. Si en cambio ella hubiera memorizado “solo” 100 entradas de registro, estaría interpolando entre estas dos mantisas:
Mantisa (log (54)) = 0.73239
Mantisa (log (55)) = 0.74036
Con la interpolación lineal obtendría (0.73749 – 0.73239) = 0.00510 que luego se divide en (0.74036 – 0.73239) = 0.00797, para un estimado de 5.4640. Eso es un poco lejos de 5.4637.
Aquí es donde entra en juego el talento real. En la raíz 23 de un número de 201 dígitos, los primeros 3 dígitos y los últimos 4 son triviales. Los dos del medio son difíciles. O bien memoriza una tabla de registro con 1000 entradas, o tiene algunos trucos inteligentes para la interpolación iterativa de antilog, o obtendrá uno o dos de esos dígitos incorrectos. Ese día de 1977, Devi lo entendió bien.
Pero espere: ¿cómo se eligió el número “201”, como en “23ra raíz de un número de 201 dígitos”? Si fue Devi quien eligió el número, entonces las tablas de registro que necesita son mucho más pequeñas. Para un número de 201 dígitos, la raíz 23 tendrá los primeros 3 dígitos en el rango de 496 a 548. No son 1000 registros diferentes para recordar, eso es solo 53, eso es un 95% menos de cosas para recordar en esa etapa. Debido a que los números de 9 dígitos pueden tener entre 185 y 207 dígitos. Limitarlo a 201 dígitos lo simplifica mucho.
¿Es eso lo que pasó? Posiblemente, porque tenemos otra pista con la que terminaré: en el momento en 1977, se informó que “alguien” estaba preocupado de que ella simplemente memorizara todas las raíces posibles. En ese momento se informó que “se le preguntó a la computadora” cuál era la probabilidad de que ella adivinara la respuesta correcta, y reportó que las probabilidades eran de 1 en 58 millones. Este número también se convirtió en parte de la leyenda (caracterizada erróneamente como “las probabilidades de que ella haga esta hazaña era de 1 en 58 millones”).
No tengo un Univac 1101, pero con herramientas un poco más recientes puedo calcular que para que la potencia número 23 tenga 201 dígitos, la raíz debe estar entre 496,194,761 y 548,441,657, precisamente.
En otras palabras, hay 52,246,897 números posibles si su solicitud era “solo potencias de 201 dígitos”. Eso es muy cerca de “58 millones”. De alguna manera ella limitó su rango. O bien calcularon mal el número “58 millones” en aquel entonces, o el rango se definió de alguna otra manera. Lo que importa es la función de registro: no importa en qué rango se tradujo en 58 millones de números, solo tendría que recordar 58 o 59 entradas de una tabla de registro: estamos hablando del registro 10 aquí, y es solo la resolución del La izquierda más 2 dígitos que importan (58).
Sin embargo ella lo hizo, fue toda una hazaña. Habría tenido que hacer todo lo anterior, con precisión, en 50 segundos. Y tenga en cuenta que la forma en que lo hizo realmente podría haber sido incluso más complicada de lo que describí; en mi reconstrucción de su hazaña, he aprovechado la mejor de las técnicas computacionales mentales modernas (conocidas). Puede que no estuviera familiarizada con todos ellos, y en 1977 seguramente no tenía fácil acceso a las computadoras con las que probar cosas.
Un comentario sobre la parte de 50 segundos. No sabemos cuánto tiempo pensó sobre el problema. Si revisa cuidadosamente las técnicas anteriores, notará algo interesante: la parte difícil es decidir qué hacer con los primeros cinco o seis dígitos. Los siguientes 191 dígitos no importan, en absoluto! Pueden literalmente ser cualquier cosa. Por lo tanto, si estructura su programa de manera adecuada, por ejemplo, puede pedir que el número se escriba en una pizarra. Y, de hecho, en este caso, a juzgar por las imágenes que han sobrevivido, fue escrito en una pizarra. Y los números se agruparon en grupos de 5 números. Entonces, mientras alguien escribe 191 números irrelevantes, Devi puede resolver la parte difícil del problema, yendo desde los primeros 6 números del poder a los primeros 5 números de la respuesta. Cuando ve los últimos 4 dígitos, tiene la respuesta, ya que esta parte es simple. Si la persona que escribe en la pizarra escribe 1 o 2 números por segundo, Devi habría tenido 2 o 3 minutos para dedicar a la parte difícil.
Para el registro: si una computadora ha sido programada para usar estas técnicas, el “problema de cómputo” es trivial. Así que no, ella no “golpeó una computadora” ese día. Lo que hizo fue confundir a su audiencia, de una manera que resonó a través de las décadas.
Para un ser humano fue una demostración formidable, y para un matemático consumado, todo un truco para ser recordado.
