¿Cuáles son algunas cosas que los matemáticos saben, pero la mayoría de las personas no saben?

1. Las matemáticas son amplias, profundas y están activamente investigadas. Algunas personas parecen pensar que todo lo que aprendieron en la escuela secundaria, o tal vez en la universidad de primer año, es prácticamente todo lo que hay que hacer. Pero las matemáticas tienen una gran cantidad de ramas, con conexiones complejas entre ellas y una amplia gama de resultados en cada una. A veces, luchar para resolver un problema abierto en una rama lleva a la creación de sucursales completamente nuevas. La colección de conocimientos matemáticos acumulados hasta el momento puede (y lo hace) llenar bibliotecas completas, y la investigación de nuevos conocimientos continuará en el futuro previsible.

2. Algunos resultados matemáticos requieren un amplio conocimiento previo para comprender de qué se trata. Pero algunos problemas son muy fáciles de establecer con solo un conocimiento elemental, pero son extremadamente difíciles de resolver.

La conjetura de Goldbach dice: “Cada entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos”. Bastante fácil, ¿verdad? Bueno, la mayoría de la gente cree que es verdad, y hasta el día de hoy nadie sabe cómo probarlo. La conjetura de Collatz: “Comience con cualquier entero positivo. Si es par, divídalo entre 2. Si es impar, multiplique por 3 y agregue 1. Repita este proceso. Finalmente, alcanzará el número 1”. Suena un poco como esos trucos de salón, pero de nuevo, no se encontraron pruebas todavía. El último teorema de Fermat: “si [math] a, b, c, n [/ math] son ​​enteros positivos y [math] n> 2 [/ math], entonces [math] a ^ n + b ^ n \ neq c ^ n [/ math] “. Los matemáticos buscaron una prueba de esta afirmación durante siglos, hasta que encontraron una, que tenía 150 páginas y utilizaba algunas teorías modernas muy avanzadas.

El teorema de la curva de Jordan es fácil de visualizar de manera intuitiva, difícil de formalizar y difícil de demostrar: “Si dibuja una curva en el plano, tiene un interior y un exterior”.

3. Algunos problemas matemáticos no resueltos tienen un premio en efectivo adjunto. El más famoso es el problema del premio Clay Institute Millennium, un desafío emitido en 2000 y que ofrece un premio de $ 1M cada uno por la solución de 7 problemas. Entre ellos se encuentra la Hipótesis de Riemann, uno de los problemas no resueltos más importantes de las matemáticas, si no el más importante. “Cada raíz de la continuación analítica de [math] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ s} [/ math] es un entero par negativo, o tiene una parte real de [math] \ frac12 [/ math] “. Es más complicado decirlo que la conjetura de Goldbach, pero sigue siendo bastante accesible en lo que respecta a la investigación de vanguardia.

4. Las matemáticas no se trata de manipular números. Se trata de analizar estructuras. Los matemáticos escogen una estructura abstracta que les interese e intentan aprender todo lo que puedan sobre ella y cómo se interconectan sus diferentes piezas. Los números son una estructura interesante para estudiar, y el estudio de muchas estructuras puede beneficiarse del uso de números, pero hay muchos resultados matemáticos y pruebas que no tienen ningún número a la vista.

5. Las matemáticas no siempre son rigurosas. Algunos consideran que el rigor es un ideal para el cual buscar, con el estándar de oro como pruebas escritas de una manera que un simple programa de computadora puede verificar. Pero aún así, ningún matemático se adhiere a este estándar porque nunca podría hacer ningún trabajo si se molestara en esto. Toman atajos, y requieren experiencia e intuición para saber qué atajos son legítimos y cuáles no. Podríamos esperar que todas las pruebas aceptadas en revistas pudieran, en teoría, ser reescritas de una manera rigurosa, pero incluso eso no es cierto. Y esta reescritura es un proceso tedioso, a pesar de las herramientas de software para ayudar en la materia.

6. Las matemáticas son útiles. El mundo físico se basa en leyes matemáticas, y si queremos entender el mundo que nos rodea, debemos entender las matemáticas. Los ingenieros y otros profesionales obviamente lo necesitan, pero también nuestra vida cotidiana se puede mejorar al saber más matemáticas. La cuestión es que ningún problema de la vida real viene con una etiqueta que indique qué rama matemática debe aplicar; debe resolverlo usted mismo y, desafortunadamente, la mayoría de los programas de educación no hacen un buen trabajo de preparación para eso. La probabilidad y las estadísticas son un área en particular con la que las personas podrían estar más familiarizadas, aunque solo sea por resistirse a la mentira con las estadísticas.

También es notable que la humanidad en su conjunto rara vez sabe de antemano qué teoría matemática será útil cuando y para qué. El matemático del siglo XX GH Hardy es famoso por sentirse orgulloso de lo inútil que es su campo de estudio, la teoría de los números (el estudio de los enteros). Poco sabía que la teoría de los números formaría la base de la criptografía, que es fundamental para el funcionamiento de Internet, tal como la conocemos.

7. Las matemáticas son hermosas. No necesita ser útil. Es un arte creativo tan fino como cualquier otro. Puede ser una recreación casual, y puede ser profunda e intensa.

Correa adentro, amigos. Esta será una respuesta larga, con enlaces a muchas otras respuestas largas.

Voy a limitarme a resultados y conceptos que sean razonablemente fáciles de explicar (aunque no necesariamente fáciles de probar). También voy a tratar de dividirme por categorías generales, y por lo general me alejaré de las matemáticas de nivel de posgrado y posgrado. Incluso con estas restricciones masivas, esto no pretende ser una lista exhaustiva. De hecho, voy a empezar con exactamente eso.

Conocimientos generales

  1. Las matemáticas son vastas . Pienso que la mayoría de las personas son poco conscientes de que hay algo más allá del cálculo, pero que yo sepa, muy pocos entienden exactamente cuánto. Las matemáticas han tenido una enorme explosión en los últimos doscientos años, hasta el punto de que ya no es humanamente posible que una persona esté bien familiarizada con todos los campos y subcampos de las matemáticas.
  2. Las matemáticas no se trata de números. He escrito antes acerca de cómo el término ‘números’ ha caído en favor (¿Se pueden introducir nuevos tipos de números en matemáticas (como números negativos, números irracionales y números imaginarios)? ¿Es posible que haya nuevos números?) Porque no es descriptivo. Hay muchos otros tipos de estructuras algebraicas que las que más conocen, y la distinción entre cuáles son los números y cuáles no es muy arbitraria.
  3. Las matemáticas no se trata de resolver ecuaciones . Las ecuaciones también aparecen a menudo en el trabajo matemático, y hay muchos resultados y conjeturas interesantes sobre cómo resolver varios tipos de ecuaciones. También hay muchos resultados muy interesantes sobre cuándo es imposible escribir un algoritmo que resuelva automáticamente (alguna clase de) ecuaciones, o cuando algún sistema de ecuaciones no tenga una solución que pueda expresarse en términos de funciones elementales. Aun así, las ecuaciones son herramientas y están lejos de las únicas. Gran parte de la topología está escrita sin una sola ecuación a la vista (sin una interpretación liberal de lo que significa una ecuación).
  4. La matemática es Sobre el estudio de la estructura. ¿Qué es la matemática? ofrece una buena visión general de las opiniones de varios matemáticos acerca de lo que realmente son las matemáticas.
  5. Los objetos en matemáticas se describen no por lo que son , sino por lo que hacen . Este es un cambio importante en el pensamiento de muchas personas. Lo describiría con más detalle, pero creo que ya he dado un resumen decente aquí: ¿Qué cosas saben solo los matemáticos de doctorado?
  6. Las matemáticas no están limitadas por las leyes de la física, solo por las leyes de la lógica. Tal vez esto va a ser una afirmación ligeramente controvertida, así que déjeme aclarar a qué me refiero. Quiero decir que si descubrimos que el espacio es curvo, eso no hace que la geometría euclidiana sea falsa como una teoría matemática. Sigue siendo tan cierto como cuando Euclid escribió los Elementos: es solo que hemos descubierto que no es un buen modelo para el espacio-tiempo. Los matemáticos modernos no se preocupan demasiado acerca de si habrá un modelo físico para cualquier estructura matemática que creen. Esto ha llevado a una mayor libertad, capacidad para establecer conexiones inesperadas y productividad.
  7. Las matemáticas son útiles . Esto es muy sorprendente, considerando el punto anterior. Sin embargo, cuando estás construyendo algo en matemáticas, nunca sabes exactamente cómo se conectará con todo lo demás, y como resultado, nunca sabes realmente dónde / cómo / si será útil. El famoso ejemplo de la teoría de los números que se ha convertido en una herramienta valiosa en criptografía se ha mencionado en otra respuesta.
  8. Las matemáticas son fundamentalmente creativas. Hilbert, uno de los matemáticos más famosos del siglo pasado, comentó una vez sobre uno de sus antiguos alumnos que el joven no había sido lo suficientemente creativo como para ser matemático, pero ahora que se había convertido en poeta, estaba bien. Sin embargo, este comentario puede haber sido irónico, tiene un núcleo de verdad. Debido a que las matemáticas están limitadas solo por las leyes de la lógica, hay conexiones muy sorprendentes y profundas que uno puede encontrar, si uno es lo suficientemente creativo como para verlo. Nos guste o no, todos tenemos modelos mentales internos de para qué se usan los diversos campos de las matemáticas y de qué se tratan. Ver que un campo de las matemáticas tiene algo que decir sobre otro campo no es un ejercicio trivial. Considere la comprensión de Descartes de que había una conexión entre las ecuaciones y la geometría, lo que lleva al plano cartesiano que ahora damos por sentado. Considere el descubrimiento, que se remonta a Galois, que existe una conexión entre el álgebra lineal (que se relaciona con los sistemas de ecuaciones, matrices, etc.), soluciones a las ecuaciones polinómicas (¿por qué existe una relación cuadrática, cúbica y quártica)? fórmula, pero no fórmula quíntica?), y la constructibilidad de ciertos objetos en la geometría (¿por qué no se puede hacer un ángulo con una regla y un transportador?). ¿No eran estos actos creativos?

Números y sistemas de números

  1. Un número no es su representación . Muchas personas se confunden cuando ven algo como [math] 0.999 \ ldots = 1 [/ math], porque aquí hay dos cosas diferentes que se les dice que son las mismas. Las personas a veces también hacen preguntas que son extrañas para un matemático, como si los números primos son diferentes en la base 2 o en la base 12. Permítanme aclarar: hay muchas formas diferentes de representar un número. Esto se aplica a los enteros, los números racionales, los números reales y cualquier otra cosa que quieras llamar a un número (ya me he quejado de la ambigüedad de esta palabra). De hecho, muchas veces, hay muchas formas diferentes de representar cualquier cosa. La representación no importa, vea el punto # 5 arriba. Desafortunadamente, esto es comprensiblemente confuso, porque la mayoría de las personas no aprenden lo que realmente son los números reales.
  2. Los números reales son raros. Para empezar, son mucho más grandes de lo que probablemente te das cuenta (consulta la sección sobre teoría de conjuntos para obtener más información sobre esto). La forma en que se definen es un poco extravagante: es un proceso de “rellenar agujeros”. Empiezas con los racionales. Los racionales tienen un poco de problema: es posible que una secuencia de números racionales [math] a_n [/ math] se acerque cada vez más a algo (comenzó con más precisión, los términos [math] a_n [/ math] se acercan y más cerca uno del otro), pero ese algo no es un número racional. Por ejemplo, si [math] F_n [/ math] es el [math] n [/ math] -th Fibonacci number, entonces [math] \ frac {F_ {n + 1}} {F_n} [/ math] es un número racional, y puede probar que esta secuencia de números racionales está cada vez más cerca a medida que [math] n [/ math] se vuelve muy grande, pero el límite no es un número racional. Es, de hecho, la proporción áurea, [math] \ phi = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} [/ math]. He escrito sobre las propiedades especiales de este número antes. Para solucionar este problema de los racionales, agregue elementos a ellos para cada secuencia como esta, completando así los agujeros, o (como es el término matemático real) completando los números racionales. Puede detectar el problema de que tendrá diferentes secuencias que deberían corresponder al mismo número real (es decir, diferentes secuencias de los racionales que deberían tener el mismo límite). Hay una manera formal de solucionar esto, pero tomaré una ruta informal (que podría hacer rigurosa): dos números reales [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​iguales si [math] | x – y | <\ frac {1} {n} [/ math] para cualquier entero positivo [math] n [/ math]. Esto, por cierto, prueba que [math] 0.999 \ ldots = 1 [/ math].
  3. Los números reales son muy raros. La mayoría de los números con los que trata en la práctica son computables : es decir, existe un algoritmo que le dará este número a la precisión que desee (por ejemplo, puede calcular tantos términos de la expansión decimal como desee). [math] \ pi [/ math], [math] \ sqrt {2} [/ math], y [math] 1/3 [/ math] son ​​computables. Sin embargo , la mayor parte de todos los números reales no son computables. Existen, pero no se pueden escribir explícitamente.
  4. Los números complejos no son muy raros. Personalmente, creo que los números incomputables merecen mucho más el nombre “imaginario” que el poco antiguo [math] i [/ math]. Mientras que el cambio de los números racionales a los números reales se agrega a muchos elementos nuevos (y me refiero a muchos ), el cambio de los números reales a los números complejos es mucho, mucho más sencillo. El proceso de abordar la raíz de alguna ecuación polinomial se denomina extensión algebraica y ocurre frecuentemente en las matemáticas. Hay muchas maneras de entenderlo. Para los números complejos, esto está bien cubierto en esta publicación de Quora: ¿Son realmente indispensables los números complejos? ¿Hay situaciones o problemas que son imposibles de resolver sin traer números complejos a la imagen?
  5. Los números complejos son enormemente útiles. Probablemente hay mejores argumentos sobre esta afirmación, pero sé que he escrito sobre esto antes en este sitio aquí.
  6. Ni [math] \ sqrt {2} [/ math] ni [math] \ pi [/ math] son particularmente raros. Por el motivo que sea, el hecho de que [math] \ sqrt {2} [/ math] y [math] \ pi [/ math] no tengan una expansión decimal finita o en bucle, asusta a algunas personas. Sin embargo, ambos son números computables, y ambos tienen algunas representaciones muy bonitas. Por ejemplo [math] \ pi = \ sqrt {6 \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2}} [/ math], [math] \ sqrt {2} = 1 + \ cfrac {1} {2 + \ cfrac {1} {2 + \ ddots}} [/ math]. La conexión de [math] \ sqrt {2} [/ math] a los números racionales en particular es agradable, porque es una extensión algebraica.

Teoría del conjunto e infinito

  1. El infinito no es un concepto bien definido. Para ser un poco más precisos, hay muchas nociones diferentes que un matemático podría tener en mente cuando hablan de “infinito”, y todas son muy diferentes. Los laicos a menudo se enfrentan a problemas porque comienzan a tratar el infinito como un número y combinan diferentes conceptos de lo que es el infinito, lo que naturalmente lleva a la confusión y resultados erróneos. La noción de “infinito” que trataré en esta sección es la idea de “conjuntos infinitos”.
  2. Los juegos infinitos vienen en muchos tamaños diferentes. Para ser más precisos, hay una noción de “tamaño” que los matemáticos adhieren a conjuntos infinitos, lo que se llama cardinalidad . Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si puede hacer coincidir los elementos de los dos conjuntos; por ejemplo, no necesita contar la cantidad de patas en un milpiés para saber que hay tantas patas en el lado derecho. como hay a la izquierda, porque puedes hacerlos coincidir directamente. Sorprendentemente, los números naturales, los números pares y los racionales pueden combinarse de esta manera, por lo que tienen la misma cardinalidad (decimos que son infinitamente contables ). Los números reales, sin embargo, tienen otra cardinalidad más grande.
  3. Los números pares tienen la misma cardinalidad que los enteros. Sé que técnicamente ya lo mencioné en el punto anterior, pero quería reiterarlo simplemente porque es muy poco intuitivo para la mayoría de las personas que ven la teoría por primera vez. Para una discusión más profunda sobre la intuición de esto, puede buscar aquí: ¿Cuál es una explicación intuitiva de por qué hay un número igual de números enteros e iguales?
  4. No hay un conjunto ‘más grande’. Puedes seguir construyendo series de cardinalidad cada vez más grandes. En cierto sentido, este problema fundamental es lo que llevó a la paradoja de Russell y obligó a los lógicos a reexaminar los fundamentos de las matemáticas.

Funciones y análisis real.

  1. Una función no es una ‘regla’. Descubrí que muchas personas tienen la idea errónea de que una función es una regla como [math] f (x) = x ^ 2 + 3 [/ math] o quizás [math] f (x) = e ^ {- x ^ 2} [/ math]. Eso no es del todo incorrecto, pero sería más correcto pensar en una función como una manera de hacer coincidir las entradas y salidas. Es decir, tienes algún tipo de caja negra. Le da a esta caja negra una entrada y le devolverá una salida; la única restricción real es que, dada una entrada particular, la salida siempre debe ser la misma. No puede ser ‘azul’ cuando se siente así, pero a veces ‘rojo’, y si está teniendo un día realmente malo, devolverá ‘5’. El conjunto de entradas que tomará la caja negra es el dominio. El conjunto de salidas es el codominio. Eso es. Eso es todo lo que es una función. Por ejemplo, el ejemplo que doy aquí es completamente kosher. Dicho esto, de ahora en adelante, asumiré que mis funciones van desde los números reales a los números reales.
  2. La mayoría de las funciones no son continuas. Por supuesto, esto depende de cómo elija definir “la mayoría”, pero casi cualquier definición razonable le dará este resultado. Aquí hay un ejemplo explícito de una función como esta: [math] 1_ \ mathbb {Q} (x) [/ math] es 1 si [math] x [/ math] es racional, pero 0 si [math] x [/ la matemática] es irracional.
  3. Existe una función que es continua en un solo punto. [math] f (x) = x 1_ \ mathbb {Q} (x) [/ math] hará esto.
  4. Existe una función que es suave en un solo punto.
  5. Existen funciones que son fluidas pero no analíticas (es decir, no convergen con sus expansiones de Taylor). Escribí bastante extensamente sobre esto aquí.
  6. Existen funciones que son en todas partes fluidas y en ninguna parte analíticas. Te di un ejemplo aquí. En breve,
  7. Las funciones de valor real tienen un comportamiento mucho peor que el que tienen los seres correctos.

Análisis complejo

  1. Las funciones de valor complejo se comportan mucho mejor que cualquier otro ser correcto . Específicamente, me refiero a funciones que tienen derivados complejos. Lo sorprendente es que si una función compleja es una vez diferenciable, entonces es dos veces, tres veces … diferenciable. De hecho, será analítico! Llamamos a tales funciones holomorfas .
  2. Las funciones holomorfas son casi lo mejor de lo mejor. Como teórico analítico de números, probablemente estoy sesgado, pero nunca deja de sorprenderme cómo están estructuradas las funciones holomorfas. Una función holomórfica se puede reconstruir completamente (o al menos, hasta una constante) a partir de piezas de información lamentablemente pequeñas, a veces tan poco como saber qué tan rápido crece y dónde está cero. Si bien ya he incluido este enlace, vale la pena repetir que las funciones holomorfas son tremendamente útiles: ¿Existen realmente los números imaginarios y hay alguna cantidad física que sea realmente compleja?

Diverso

  1. No es correcto decir la cuarta dimensión. Deberías decir una cuarta dimensión. Esto es una especie de motivo favorito de la mía. Escribí sobre esto aquí: ¿Qué es la 5ª dimensión? ¿Hay alguna otra dimensión más allá del 5? Permítanme ampliar esto un poco para señalar que solo decir “dimensión” tiene muchas de las mismas dificultades que decir “infinito”.
  2. Existen diferentes definiciones de ‘dimensión’ dependiendo del contexto. Existe la dimensión de un espacio vectorial sobre un campo (que suele ser los números reales o complejos, pero podría ser muchas otras cosas ). Existe la dimensión de una variedad (una noción conectada, pero sin embargo diferente). Existe la dimensión Krull. Existe la dimensión de Hausdorff. Lo que sea, lo tenemos.

Por ahora, creo que voy a resumir mi respuesta aquí. Si tengo alguna idea brillante, o hay sugerencias / solicitudes específicas, podría agregar algunas cosas más.

Humano tiene al menos un giro de pelo en su cabeza.

El poliedro regular es solo de cinco.

El poliedro hecho de varios polígonos regulares tiene solo 12 pentágonos.

Más de la 5ª ecuación no puede resolverse por transformación elemental.

1 + 2 + 3 + ・ ・ ・ + = – 1/12

Es difícil calcular el período del péndulo.

Es difícil calcular la longitud de la parábola.

La mujer tiene más hermano que hombre. ¿Los hombres o las mujeres tienen más hermanos?

Si un hombre tiene un hermano, ¿es probable que tenga una hermana de 2/3 o 1/2?

“El número que se puede expresar con solo 43 letras” no existe. Pero esto es de 43 letras.

・ ・ ・ 999 = -1

・ ・ ・

Aquí está la sorprendente matemática de las colisiones:
Por favor imagine a 23 personas al azar en una habitación. ¿Cómo estimarías las probabilidades de encontrar a dos compañeros con el mismo cumpleaños entre ellos? Bastante bajo, porque hay 365 días en un año?

De hecho, las probabilidades son alrededor del 50%! Y con 50 personas es una apuesta segura. Este fenómeno se llama la paradoja del cumpleaños.