Soy un ave fresca sobre la teoría de la martingala. ¿Cuáles son algunos libros de texto recomendados o papeles clásicos?

Answer 1

No sé qué tipo de “pájaro fresco” eres, ni tampoco tus objetivos. La teoría de martingala es un gran campo de las matemáticas, y es estudiada tanto por matemáticos teóricos como por científicos más aplicados, incluidos ingenieros financieros y biólogos matemáticos. Si usted es un estudiante de matemáticas (o estadísticas), sus metas y objetivos para aprender la teoría de la martingala serán muy diferentes a los de una empresa o un estudiante de economía. Voy a asumir el primero, ya que no tengo experiencia con el segundo.

Si te metes en martingales, supongo que estás algo familiarizado con la probabilidad de la medida teórica. Por supuesto, puedes aprender una buena cantidad de teoría de la martingala incluso sin eso. Casi todos los libros introductorios (es decir, no teóricos de la medida) sobre procesos estocásticos tienen algún tratamiento de los martingales (tiempo discreto). Nunca he tomado realmente tales cursos de martingala para “bebés”, pero aquí hay dos libros sobre los que he oído cosas buenas:

• Ross, Sheldon M .: Procesos estocásticos , John Wiley and Sons, Inc. (1996)
• Karlin, Samuel y Taylor, Howard M .: Un primer curso en procesos estocásticos , Elsevier (1975)

El libro de Karlin y Taylor se considera un clásico entre sus compañeros, mientras que el de Ross es un tratamiento más reciente en la misma línea (quizás un poco más simple).

Bien, ahora nos ponemos manos a la obra. Digamos que te sientes cómodo con la teoría de la medida y que realmente quieres conocer martingales. Hay un montón de diferentes enfoques. Primero deberá pasar por martingales en tiempo discreto, antes de estudiar martingales de tiempo continuo, ya que cada tratamiento de este último que presumo supone un conocimiento del primero. Todos los libros que tratan sobre martingales de tiempo discreto también tratan las expectativas condicionales, de las cuales necesitaría aprender un poco para leer incluso la definición de martingales. Un curso regular de matemáticas en teoría de la medida (también llamada teoría de la integración de Lebesgue o análisis real graduado ) generalmente no cubrirá las expectativas condicionales (o cualquier probabilidad de esa materia), a menos que su maestro tenga una inspiración especialmente probabilística.

Mi primera introducción a los martingales de tiempo discreto fue a través de.

• Resnick, Sidney I .: A Probability Path , Springer Science + Business Media (2014)

Y me gusta el enfoque allí. Hay algunos que no les gusta el estilo de Resnick. El libro está un poco seco, y no incluye ejemplos y motivaciones reales. En otras palabras, no hay juego! Un libro que cubre un poco de los juegos de azar (y otras motivaciones similares para los martingales) es

• Billingsley, Patrick: Probabilidad y medida , John Wiley and Sons, Inc. (2012)

que es algo de un clásico en el campo. La mayoría de la gente, sin embargo, recomienda

• Williams, David: Probabilidad con Martingales , Cambridge University Press (2012)

que, como lo demuestra el título, desarrolla en gran medida todas las ideas probabilísticas que tienen en mente a los martingales. Casi todas las secciones están motivadas por un ejemplo; Entonces, eso es una ventaja. Personalmente, creo que los libros de Williams son muy difíciles de leer y, a menudo, siento que el orden de los temas es un poco complicado, con muchas distracciones. Pero estoy en una minoría: la mayoría de la gente piensa que su libro es el mejor para empezar. [¿Podría ser que me resintió Resnick?] Williams, sin embargo, escribe los mejores prefacios, y si te gusta leerlos tanto como yo, ¡hazlo!

Si apunta a un autoestudio (que no sea parte de un plan de estudios universitario), entonces eche un vistazo a

• Gut, Allan: Probabilidad: un curso de posgrado , Springer Science + Business Media (2013)

ya que Gut resuelve muchos problemas que serían parte de los ejercicios de tarea en los cursos formales, y que pueden ser útiles sin un maestro para ayudar a captar trucos sutiles.

Se pueden encontrar exposiciones ligeramente más grandes en

• Chow, Yuan Shih y Teicher, Henry: Teoría de la probabilidad: independencia, intercambiabilidad, martingales , Springer-Verlag (1997)
• Klenke, Achim: Teoría de la probabilidad: un curso integral , Springer-Verlag (2014)

aunque no recomendaría usar ninguno de los dos para el autoestudio.

Para la parte “clásica” de la pregunta, puede mirar

• Doob, Joseph L .: Procesos estocásticos , John Wiley and Sons, Inc. (1953)

Este es el libro que lo comenzó todo: el trabajo original de Joe Doob sobre martingales. Aunque es una obra maestra, no puedo imaginar que encuentre algo aquí que las otras referencias no cubran. Y debido a su edad, parte de la notación y la terminología pueden ser difíciles de seguir también. Pero es una buena lectura histórica, sin embargo.

Y finalmente, como un bono (probablemente no es lo que estás buscando), también menciono

• Schilling, René L .: Medidas, Integrales y Martingales , Cambridge University Press (2005)

Que mira de forma única a los martingales más allá de la probabilidad.

Ahora para continuas martingales. Como dije, no puedes meterte en modelos de tiempo continuo en probabilidad sin primero familiarizarte con sus análogos de tiempo discreto, pero si realmente lo necesitas, te sugiero

• Steele, J. Michael: Cálculo estocástico y aplicaciones financieras , Springer-Verlag (2010)

Para una introducción razonablemente simple. También cubre un poco de la teoría de martingala de tiempo discreto para prepararse para el tiempo continuo. Todos los demás libros de martingala de tiempo continuo exigen un poco de conocimiento previo de los lectores, y no recomendaría llegar a ellos sin sentirse cómodo con las cosas anteriores.