¿Cómo encuentro k dado que 4, k, (k ^ 2) – 1 son términos consecutivos de una secuencia geométrica?

Answer 1

Una pregunta mejor que debes hacerte es si puedo?

Al resolver un problema, a veces es importante creer que el problema tiene una solución. Este arte de resolver problemas a menudo se pierde en nuestra educación actual porque sabemos que tiene una respuesta. Si no fuera así, ¿por qué otra persona me pediría que lo encontrara?

Para responder a esto, primero debemos desentrañar las definiciones en algo más matemáticamente concreto. Una secuencia geométrica es una secuencia en la que el término [math] x_n [/ math] es igual a [math] x_ {n-1} \ cdot a \ forall n [/ math]. Así que un triplete de términos consecutivos en una secuencia geométrica básicamente nos dice que

[math] k = 4a [/ math]

[math] k ^ 2-1 = ka [/ math]

También puede utilizar esta propiedad para derivar en

[math] 4a ^ 2 = k ^ 2 -1 [/ math] pero esto no nos proporciona información nueva.

Entonces ahora tenemos un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. Mientras uno no esté “proporcionando la misma información” que el otro, entonces existe una solución única. Entonces, para responder a la pregunta probablemente obvia, sí podemos encontrar un [math] k [/ math] y un [math] a. [/mates]

Desde aquí, simplemente resuelve el sistema de la forma que quieras. Elegí la sustitución porque no es lineal. De este método, calculé

[math] a = \ pm \ frac {1} {2 \ sqrt {3}} [/ math]

[math] k = \ pm \ frac {2} {\ sqrt {3}} [/ math]

Y puedes verificar fácilmente las ecuaciones anteriores para verificar.

Answer 2

[math] r = \ dfrac {k} {4} = \ dfrac {k ^ 2-1} {k}. [/ math] Entonces, [math] 4k ^ 2-4 = k ^ 2 [/ math] y [math] 3k ^ 2 = 4. [/ math] Por lo tanto [math] k = \ pm \ dfrac {2} { \ sqrt {3}}. [/ math]

Answer 3

Gracias por la A2A!

Dado que son términos consecutivos de una secuencia geométrica, eso significa que las relaciones entre los términos consecutivos son iguales. Asi que:

[math] \ frac {k} {4} = \ frac {k ^ 2–1} {k} [/ math]

Vamos a multiplicar ambos lados por [math] k [/ math]:

[math] \ frac {1} {4} k ^ 2 = k ^ 2–1 [/ math]

Restar [math] \ frac {1} {4} k ^ 2–1 [/ math] de ambos lados:

[math] \ frac {3} {4} k ^ 2 = 1 [/ math]

Multiplicando ambos lados por [math] \ frac {4} {3} [/ math]:

[math] k ^ 2 = \ frac {4} {3} [/ math]

Y finalmente, tomando la raíz cuadrada de [math] \ pm [/ math] de ambos lados:

[math] k = \ pm \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} [/ math]