¿Qué truco mental / truco puedo usar para recordar fórmulas de cálculo?

Answer 1

Para las derivadas de las funciones trigonométricas, solo necesita recordar una: d / dx [sin (x)] = cos (x). Todo lo demás se puede averiguar en el acto de ello. Por ejemplo, d / dx [cos (x)] = d / dx [sin (pi / 2-x)] = -cos (pi / 2-x) = -sin (x) (que probablemente también desee saber) , pero no es estrictamente necesario), y para las otras funciones trigonométricas, simplemente puede expresarlas en términos de senos y cosenos, y luego usar la regla del cociente. Si encuentras funciones hiperbólicas, el mismo truco funciona (excepto que allí querrás saber las definiciones de sinh (x) y cosh (x) en términos de la función exponencial).
Para las integrales, sin (x) y cos (x) son fáciles de integrar una vez que conoces sus derivados, porque puedes tomar una de las fórmulas de diferenciación para estas funciones y ejecutarlas al revés. Para las integrales de tan (x) y cot (x), puedes expresarlas en términos de senos y cosenos, y obtienes una integral que puedes hacer con la sustitución de u, ya sea u = cos (x) o u = sin (X). (La misma idea funciona para funciones hiperbólicas también).
Las más difíciles de calcular son las integrales de sec (x) y csc (x). No son tan difíciles de computar, ya que el hecho de que el método para su integración sea contradictorio (porque es difícil de encontrar sin saber la respuesta). Está reescribiendo sec (x) as (sec (x) tan (x) + sec ^ 2 (x)) / (sec (x) + tan (x)), y ahora puede realizar una sustitución de u con u = sec (x) + tan (x). La misma idea funciona con csc (x). (También es posible integrar sech (x) y csch (x) con trucos similares).
Esto es lo que uso para derivadas e integrales de funciones trignométricas. Como puede ver, la mayor parte de esto es coherente con las estrategias usuales de tratar con funciones trigonométricas distintas de seno y coseno, es decir, convertirlas en senos y cosenos. Una ventaja es que cuando llegue a las funciones hiperbólicas, podrá elaborar sus derivados en el momento sin necesidad de aprender otra tabla.
Para diferenciar las funciones trigonométricas inversas, la diferenciación implícita es suficiente. Por ejemplo, si desea la derivada de sec ^ -1 (x), entonces puede comenzar con x = sec (y), y la diferenciación implícita obtiene 1 = sec (y) tan (y) dy / dx, entonces dy / dx = 1 / (sec (y) tan (y)) = 1 / (x * sqrt (x ^ 2-1)). Esto funciona para las derivadas de las seis funciones trigonométricas inversas y las seis funciones hiperbólicas inversas. Esto incluso funciona para ln (x) también, si sabes cómo diferenciar e ^ x. La ventaja de esto es que puede utilizarse para la derivada de cualquier función inversa.
Para integrar ln (x), la solución más fácil es por partes, donde terminas integrando 1 y diferenciando ln (x). Esto también ayudará a integrar las funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas, pero allí, después de la integración por partes, se necesita una sustitución trigonométrica. Esto es intuitivo porque reemplaza estas funciones por algo más fácil de integrar.
Con todo, estas integrales no aparecen con la frecuencia suficiente para justificar la memorización de cada una de ellas individualmente. Entonces, un truco mental (como lo llamas) es conocer el método para obtener los resultados y luego realizarlo según sea necesario.