¿Hay algún dato matemático básico / básico que todavía encuentre extraordinario y sorprendente?

En realidad, hay muchos teoremas sorprendentes en las matemáticas elementales. De hecho, las personas aún están descubriendo muchos resultados nuevos que incluso nosotros, los que no somos matemáticos, podemos apreciar. El foro geometricorum, por ejemplo, tiene muchos resultados encantadores en geometría que podemos entender, aunque algunos de los artículos contienen temas avanzados.

Pero uno de los resultados que realmente me cautivó es el teorema que dice que hay infinitos primos de números primos, comprobados por Euclides hace más de 2000 años. Su prueba original es la siguiente:

Considera un número finito de números primos [math] \ large {p_1, p_2, p_3 \ ldots, p_n} [/ math]. Ahora deja que [math] Q = p_1 p_2 p_3 \ ldots p_n + 1.Q [/ math] es entonces ya sea primo o compuesto. Si [math] Q [/ math] es primo, entonces tenemos un primo que no está en nuestra lista. Si [math] Q [/ math] es compuesto, entonces tendría al menos dos factores primos. Pero esos factores primos no pueden ser ninguno de los números primos de [math] p_1 [/ math] a [math] p_n [/ math] ya que [math] Q = p_1 p_2 p_3 \ ldots p_n + 1 [/ math] claramente no es divisible por cualquiera de ellos. Entonces, en este caso, todavía tendríamos un número primo no en nuestra lista. Por lo tanto, en cualquier lista finita de números primos, debe existir y al menos un primo que no esté en la lista, lo que implica que el número de primos es infinito.

La prueba anterior no es la única prueba elemental del asombroso resultado, y hay dos que yo conozco. Uno se debe a Euler, en el cual demuestra que si el número de primos es finito, entonces la serie de armónicos convergería (por supuesto, sabemos que difiere). El otro es de Filip Saidak, que usa hábilmente la secuencia [math] n, n + 1, (n) (n + 1) +1, [/ math], etc.

Creo que lo que lo hace más sorprendente, o en general, lo que hace que los números primos sean asombrosos, es que si hacemos una pregunta similar, digamos “¿Hay infinitos números primos gemelos?”, Entonces tendríamos un problema muy difícil. De hecho, hay muchos problemas no comprobados que preguntan si hay infinitos números primos [insertar propiedad aquí]. Vea la sección principal de la Lista de problemas no resueltos en matemáticas. Un matemático (creo que es Ronald Graham) incluso dijo que cuando se trata de números primos, los niños pueden hacer preguntas que los hombres más sabios no pueden responder. Claro, hay explicaciones de por qué esos problemas son muy difíciles, pero los números primos todavía me sorprenden.

Si bien no es la más básica, la siguiente ecuación es corta y concisa, pero también elegante y hermosa. Casi hace lo imposible.

Identidad de Euler: [math] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ math]

Enlaza todos los números peculiares en matemáticas, para hacer una ecuación poética directa.