Teorema de Pick:
Sorprendentemente, el área de cualquier polígono reticular P, es decir, un polígono cuyas esquinas tienen coordenadas enteras, se puede calcular EXACTAMENTE mediante la fórmula:
[matemáticas] I (P) + B (P) / 2–1 [/ matemáticas]
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donde [matemáticas] I (P) [/ matemáticas] es el número de puntos de la red dentro del polígono y [matemáticas] B (P) [/ matemáticas] es el número de puntos de la red en el límite.
Ejemplo 1 : El área del cuadrado de la unidad con esquinas (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). [matemática] I (P) [/ matemática] es 0 ya que no hay puntos de coordenadas dentro. [matemática] B (P) [/ matemática] es 4, uno para cada esquina. Entonces [matemáticas] I (P) + B (P) / 2–1 = 0 + (4/2) –1 = 1 [/ matemáticas] ¡lo que funciona!
Ejemplo 2 : El área del polígono en la figura es [matemática] 5+ (9/2) -1 = 8.5 [/ matemática].
Como consecuencia, cada polígono reticular, que puede tener n lados de longitud irracional, tiene un área que es múltiplo de 1/2.
Además, es imposible dibujar un triángulo equilátero con coordenadas enteras. El área de un equilátero es [matemática] A = \ frac {\ sqrt {3}} {4} e ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] e [/ matemática] es la longitud del lado. El lado es la hipotenusa de algún triángulo rectángulo, por lo que [math] e ^ 2 [/ math] es un número entero, por lo que el área siempre es irracional.