¿Cuáles son algunas cosas interesantes sobre el infinito que pocas personas conocen?

Answer 1

Aquí hay algunas cosas interesantes sobre el infinito que quizás pocas personas que no han estudiado matemáticas superiores saben.

1. El infinito puede ser estudiado rigurosamente en matemáticas.

2. Dos conjuntos infinitos son del mismo tamaño, por definición, si sus elementos pueden combinarse, uno a uno.

3. Puede eliminar un número infinito de elementos de un conjunto infinito y aún tener un conjunto infinito del mismo tamaño que el conjunto original. Por ejemplo, el conjunto de enteros pares es del mismo tamaño que el conjunto de todos los enteros.

4. A la inversa, puede agregar un número infinito de elementos a un conjunto infinito y aún tener un conjunto infinito del mismo tamaño. Por ejemplo, el conjunto de números pares, el conjunto de números impares y el conjunto de todos los enteros tienen el mismo tamaño.

5. Incluso puede agregar un número infinito de elementos a un conjunto infinito un número infinito de veces y aún así obtener un conjunto del mismo tamaño. Por ejemplo, el conjunto de números racionales es del mismo tamaño que el conjunto de números enteros.

6. ¡Hay infinitos de diferentes tamaños! Por ejemplo, el tamaño del conjunto de números reales es mayor que el tamaño del conjunto de números racionales.

7. ¡Hay un número infinito de infinitos de tamaño creciente!

8. Algunos infinitos son tan grandes que no pueden llamarse sistemáticamente un conjunto, por ejemplo, la colección de todos los conjuntos.

Una buena introducción al infinito es Infinito y la mente por Rudy Rucker.

Answer 2

En Matemáticas (y en particular la Teoría de conjuntos), definen lo que significa que un cierto infinito sea menor que un infinito diferente. Entonces se muestra que hay infinitos infinitos. Pero Set Theory es increíblemente raro. Entonces, preguntas como “¿hay un infinito entre el infinito de los números naturales y el infinito de los números reales?” Tienen respuestas extremadamente complicadas. (Vagamente, la respuesta es: sí y no. Busque “la hipótesis del continuo”).

Además, en cualquier contexto (razonable) en matemáticas, lo siguiente es cierto: la infinidad de números racionales es estrictamente más pequeña que la infinidad de números irracionales. Sin embargo, entre dos números racionales hay un número irracional, y entre dos números irracionales hay un número racional. Un poco te deja sin aliento, ¿no?

Answer 3

El diámetro de un solo punto en un espacio métrico del plano es -∞ (menos el infinito)