¿Cuáles son los hechos interesantes sobre la proporción de oro?

Answer 1

La proporción de oro (1.618… ..) es un número único en matemáticas y su apariencia se puede encontrar a través de la naturaleza: cara, cuerpo, pétalos de flores, animales, series de fibonacci, conchas, galaxias, arte, arquitectura, etc.

Entonces, pensé que debería compartir algunos de los ejemplos de la vida real de phi que existen en la naturaleza.

1. El Fibonacci

La Serie Fibonacci recibe su nombre de Leonardo Fibonacci, quien vivió en el siglo XII. Quería calcular la expansión ideal de parejas de conejos durante un año. Él asumió que cada par produciría otro par tan pronto como maduraran en un mes. En enero, nacería un nuevo par de conejos (1) que llegarían a la madurez en febrero (1) y se criarían, produciendo un nuevo par en marzo (2). Luego volverían a reproducirse y producirían una nueva pareja en abril (3) y otra pareja en mayo. Mientras tanto, los conejos nacidos en marzo alcanzarían la madurez en abril, por lo que en mayo verían dos pares de conejitos producidos, lo que da un total de 5 pares. Ahora, los conejos nacidos en enero, marzo y abril estarían agregando nuevas parejas, lo que elevaría el total de junio a 8 parejas.

La expansión se llevaría adelante, con cada nuevo par llegando a la madurez y comenzando su propia pequeña serie de Fibonacci para agregarse al conjunto. A lo largo de los meses, sin muertes, la expansión de la pareja de conejos se vería así:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,. . . .

Cualquiera puede ver que para diciembre el pobre dueño se inundará de conejos. Los lectores de ojos afilados también pueden ver que cada nuevo número en la secuencia es la combinación de los dos números anteriores. Cinco más ocho hace trece. Ocho más trece hacen veintiuno, y así sucesivamente.

2. conchas

Las propiedades únicas del Rectángulo Dorado proporcionan otro ejemplo. Esta forma, un rectángulo en el que la proporción de los lados a / b es igual a la media dorada (phi), puede dar como resultado un proceso de anidación que puede repetirse hasta el infinito, y que toma la forma de una espiral. Se llama la espiral logarítmica y abunda en la naturaleza.

Las conchas de caracol y las de nautilo siguen la espiral logarítmica, al igual que la cóclea del oído interno. También se puede ver en los cuernos de ciertas cabras y en la forma de ciertas telas de araña.

3. Galaxias espirales

No es sorprendente que las galaxias espirales también sigan el patrón familiar de Fibonacci. La Vía Láctea tiene varios brazos espirales, cada uno de ellos una espiral logarítmica de aproximadamente 12 grados. Como un lado interesante, las galaxias espirales parecen desafiar a la física newtoniana. Ya en 1925, los astrónomos se dieron cuenta de que, como la velocidad angular de rotación del disco galáctico varía con la distancia desde el centro, los brazos radiales deberían curvarse a medida que las galaxias giran. Posteriormente, después de unas pocas rotaciones, los brazos espirales deberían comenzar a enrollarse alrededor de una galaxia. Pero no lo hacen, de ahí el llamado problema de liquidación. Parece que las estrellas en el exterior se mueven a una velocidad superior a la esperada, un rasgo único del cosmos que ayuda a preservar su forma.

4. Rostro y cuerpo humano.

Las caras, tanto humanas como no humanas, abundan en ejemplos de la Proporción Dorada. La boca y la nariz están ubicadas en secciones doradas de la distancia entre los ojos y la parte inferior de la barbilla. Se pueden ver proporciones similares desde el lado, e incluso el ojo y la oreja en sí (que sigue a lo largo de una espiral).

Vale la pena señalar que el cuerpo de cada persona es diferente, pero que los promedios entre las poblaciones tienden hacia el phi. También se ha dicho que cuanto más estrechamente se adhieren nuestras proporciones a phi, más “atractivos” se perciben esos rasgos. Como ejemplo, las sonrisas más “hermosas” son aquellas en las que los incisivos centrales son 1.618 más anchos que los incisivos laterales, que son 1.618 más anchos que los caninos, y así sucesivamente. Es bastante posible que, desde una perspectiva evo-psíquica, estemos preparados para recibir formas físicas que se adhieran a la proporción áurea, un indicador potencial de la salud y la aptitud reproductiva.

Algunos de los actores y la belleza de la actriz, se midieron sobre la base de su cara en una escala de 0-10 y sus filas resultaron ser las siguientes.

1. Beyonce Knowles – 7.28
2. John Mayer – 6.42
3. Kate Upton – 7.46
4. Lena Dunham – 6.82
5. Miley Cyrus – 7.36
6. George Clooney – 6.77
7. Angelina Jolie – 7.13
8. Ryan Gosling – 7,3
9. Ben Affleck – 6.55
10. Brad Pitt – 9.67

Con Brad Pitt más cercano a la proporción de phi. En el caso de las medidas de cuerpo / figura, Scarlett Johansson se convirtió en la nueva estrella que venció a Kim Kardashian.

La lista completa basada en la medida de la figura de la actriz es la siguiente:

5. pétalos de flores

El número de pétalos en una flor sigue consistentemente la secuencia de Fibonacci. Los ejemplos famosos incluyen el lirio, que tiene tres pétalos, ranúnculos, que tienen cinco (en la foto de la izquierda), el 21 de achicoria, el 34 de la margarita, y así sucesivamente. Phi aparece en pétalos debido a la disposición ideal de empaque según lo seleccionado por los procesos darwinianos; cada pétalo se coloca a 0.618034 por turno (fuera de un círculo de 360 ​​°) permitiendo la mejor exposición posible a la luz solar y otros factores.

6. Dinámica reproductiva.

Las abejas, siguen a Fibonacci de otras formas interesantes. El ejemplo más profundo es dividir el número de hembras en una colonia por el número de machos (las hembras siempre superan en número a los machos). La respuesta es típicamente algo muy cerca de 1.618. Además, el árbol genealógico de las abejas también sigue el patrón familiar. Los hombres tienen un padre (una mujer), mientras que las mujeres tienen dos (una mujer y un hombre). Por lo tanto, cuando se trata del árbol genealógico, los machos tienen 2, 3, 5 y 8 abuelos, bisabuelos, abuelos y abuelos, respectivamente. Siguiendo el mismo patrón, las hembras tienen 2, 3, 5, 8, 13, etc. Y como se señaló, la fisiología de las abejas también sigue bastante bien la curva dorada.

7. moléculas de ADN

Incluso el reino microscópico no es inmune a Fibonacci. La molécula de ADN mide 34 angstroms de largo por 21 angstroms de ancho para cada ciclo completo de su espiral de doble hélice. Estos números, 34 y 21, son números en la serie de Fibonacci, y su relación 1.6190476 se aproxima mucho a Phi, 1.6180339.

8. cabezas de semillas

La cabeza de una flor también está sujeta a procesos fibonaccianos. Típicamente, las semillas se producen en el centro, y luego migran hacia el exterior para llenar todo el espacio. Los girasoles proporcionan un gran ejemplo de estos patrones en espiral.

En algunos casos, las cabezas de semillas están tan apretadas que el número total puede llegar a ser bastante alto, hasta 144 o más. Y al contar estas espirales, el total tiende a coincidir con un número de Fibonacci. Curiosamente, se requiere un número altamente irracional para optimizar el llenado (es decir, uno que no estará bien representado por una fracción). Phi encaja a la perfección bastante bien.

9. Monumentos

El Partenón

Fidias, el escultor griego, utilizó la Proporción Dorada en su trabajo, especialmente cuando comenzó a trabajar con las bandas que esculpió justo encima de las columnas del Partenón. También es importante tener en cuenta que el valor numérico asignado a la Relación Dorada, Phi, fue nombrado en su honor.

Si mide las dimensiones del exterior del Partenón, descubrirá que no solo forma un Rectángulo Dorado, sino que también hay muchos Rectángulos Dorados entre las columnas. El uso de la Relación de oro explica el genio y la belleza de este ejemplo de arquitectura sagrada.

La gran pirámide de Giza

La Proporción Dorada, el Rectángulo Dorado y el Triángulo Dorado se pueden encontrar en la perfección de una de las Siete Maravillas del Mundo, la gran pirámide de Giza. Para encontrar la Proporción Dorada, deberás dividir por dos la base cuadrada de la pirámide y dibujar una línea vertical hasta el centro de la pirámide. Cuando está conectado a un lado en ángulo de la pirámide, puede ver fácilmente cómo se forma el Triángulo Dorado con una proporción de 1.62, la Relación Dorada.

Otros ejemplos son Taj Mahal-Agra, India, Notre Dame-París, Francia, Edificio de la ONU, Nueva York.

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Aparte de esto, en álgebra:

• Phi es el único número cuyo cuadrado es mayor que uno mismo, expresado matemáticamente como Φ² = Φ + 1 = 2.618.
• Phi también es el único número cuyo recíproco es menor que uno mismo, expresado como 1 / Φ = Φ – 1 = 0.618

Para aquellos, que quieran saber más sobre el ratio de oro. Hay un sitio web dedicado a él Propiedades de relación de oro, aspectos y descripción de aplicaciones.

Gracias por A2A, Prasun Kumar.

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Answer 2

Si inserta el rectángulo (b) en el rectángulo (a), el espacio resultante será un cuadrado de lados “y”.

Como se muestra en la figura anterior, este proceso se puede repetir una y otra vez, lo que resulta en rectángulos cada vez más pequeños. Este efecto en espiral es lo que hace que estos rectángulos sean tan únicos y la razón por la que los griegos vieron esta relación como tan importante. Vamos a explorar algunos ejemplos de arquitectura:

La proporción áurea en arquitectura

1) La Gran Pirámide de Giza

La Gran Pirámide de Giza en 4700 aC con proporciones según una “proporción sagrada”.

En la figura anterior, “h” es la altura de la pirámide, “b” es la mitad de la longitud de la base y “a” es la altura de una cara triangular. Los antiguos egipcios construyeron las Grandes Pirámides de tal manera que la proporción (b: h: a) es aproximadamente igual a (1: √φ: φ).

2) Partenón

El escultor griego Fidias esculpió muchas cosas, incluidas las bandas de escultura que se extienden sobre las columnas del Partenón.

Vea cómo cada parte importante del diseño encaja en una caja roja o un rectángulo.

3) Edificio de las Naciones Unidas.

La proporción de ancho a alto por cada 10 pisos es la proporción áurea.

En matemáticas:

Desde los antiguos egipcios, el uso de la proporción áurea se ha visto en la construcción de sus pirámides.

Euclid fue la primera persona en escribir sobre la proporción áurea en su trabajo matemático titulado Elementos. En ese momento, y antes, los matemáticos ponderaban la relación entre la proporción de dos números “x” y “y” y la igualaban con la relación de “x” y “x + y”. Dicha longitud haría que dos triángulos se llamen Golden Triangulos:

Uno de los métodos más simples para resolver esta relación es arreglar una variable y resolver para la otra. Si permitimos que x = 1, tenemos la siguiente proporción y luego de la multiplicación cruzada de la siguiente fórmula:

La recuperación de la ecuación de fórmula cuadrática # 2 se puede resolver dejando a = 1, b = -1, y c = -1.

En la ecuación # 4, hay dos valores. Uno es negativo y no puede reflejar un valor real para la longitud de un triángulo, mientras que el otro es un valor positivo. El valor positivo es lo que se llama la proporción de oro y esta proporción se encuentra sorprendentemente en la naturaleza, el arte, la arquitectura y la ciencia.

En arte

1) Estatua de Atenea:

Cuando se ve desde el lado se puede ver la proporción de oro. Una proporción de oro es la longitud desde la cabeza frontal hasta la abertura de la oreja en comparación con la longitud de la frente a la barbilla. La otra proporción es la longitud de la fosa nasal al lóbulo de la oreja en comparación con la longitud de la fosa nasal a la barbilla

2) Mona Lisa de Leonardo Da Vinci

En esta pintura de fama mundial, vemos cada sección principal dividida de acuerdo con la proporción áurea.

4) El arte abstracto moderno como Penrose Tilings

“El físico y matemático británico, Roger Penrose, desarrolló un mosaico periódico que incorpora la sección dorada. El mosaico se compone de dos rombos, uno con ángulos de 36 y 144 grados (figura A, que es dos triángulos de oro, de base a base) y otro con ángulos de 72 y 108 grados (figura B). Cuando un plano se coloca en mosaico de acuerdo con las instrucciones de Penrose, la proporción de azulejo A y azulejo B es la proporción Dorada “.

“Además de la simetría inusual, Penrose Tilings revela un patrón de decagones superpuestos. Cada mosaico dentro del patrón está contenido dentro de uno de los dos tipos de decagones, y la proporción de las poblaciones de decágono es, por supuesto, la proporción de la Media Dorada. . ”(3)

En naturaleza:

Si un cuarto de círculo se coloca dentro de cada uno de estos cuadrados resultantes y los círculos de cuarto están conectados, tenemos una espiral continua llamada espiral logarítmica también llamada espiral dorada. Vea la figura de abajo.

Figura # 5 Referencia de crédito # 1

Imagen # 6 Referencia de crédito # 3

Espiral dorada vista en conchas marinas y piñas.

Mira cómo aparece la Espiral Dorada en esta Cáscara de Nautilus

Cáscara de Nautilus cortada por la mitad

The Golden Ratio y la serie Fibonacci.

La serie Fibonacci es una serie matemática única que aparece por primera vez en el libro Liber Abaci (1202) de Leonardo de Pisa, conocida como Fibonacci (fi-bo-na-chee) en 1202. La serie es una solución a un simple problema matemático sobre el Población de conejos reproductores.

La solucion es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,… (Cada número es la suma de los dos anteriores) .

¿Cómo se relaciona la relación de oro con algo completamente diferente, como la serie Fibonacci? Sorprendentemente, la respuesta está cuando comparas pares de números de Fibonacci. Si toma el número anterior y lo divide en el número subsiguiente de la serie, la respuesta que obtenga se convertirá en la proporción de oro con pares de números de Fibonacci cada vez más grandes. Vea la tabla de abajo:

La proporción de oro y la serie de Fibonacci en la naturaleza:

En la naturaleza se pueden ver numerosos ejemplos de la proporción de oro en el número de pétalos en las plantas:

La proporción de oro en todos nosotros!

Desde los antiguos griegos, la gente ha sabido que el cuerpo humano tiene simetría. Lo que es interesante es cómo las porciones principales del cuerpo humano siguen la Proporción Dorada. Los huesos que forman tus dedos están en la proporción de oro.

Imagen # 10, referencia de crédito # 3

Rojo / amarillo, amarillo / verde y verde / azul son todos recíprocos de la proporción áurea.

Proporción de oro en el cuerpo humano:

1) Altura y longitud entre punto naval y pie.

2) Longitud entre la línea del hombro y la longitud de la cabeza.

3) Longitud entre la punta del dedo al codo y la longitud entre la muñeca y el codo

4) Longitud entre punto naval a rodilla y longitud entre rodilla y pie

5) Longitud de la cara y ancho de la cara.

6) Longitud de la boca y anchura de la nariz.

7) Ancho de la nariz y longitud entre las fosas nasales.

8) Longitud entre las pupilas y longitud entre las cejas.

Todos los ratios están muy cerca del Golden Ratio.

Answer 3

Mis pensamientos son como un artista, que ha estado fascinado por la Proporción Dorada durante unos veinte años y lo ha usado ampliamente. Como resultado, es desde el “instinto” y se basa visualmente.

La proporción de oro, o media de oro, es una proporción de 1 a 1.618 (¡eso es un número redondeado, pero es lo suficientemente bueno para uso visual!) La versión de un laico que se escucha mucho en fotografía es la “regla de los tercios”, aunque la gente Probablemente dirá que los dos no están relacionados en absoluto. De cualquier manera, es una forma de dividir las áreas de dominio y subdominio en una obra de arte, en arquitectura o diseño.

¿Por qué se ve tan agradable a la vista? Parecemos atraídos naturalmente a estas proporciones porque se encuentran ampliamente en la naturaleza. De hecho, esta proporción se encuentra en las formas fractales de la naturaleza, desde un caparazón de nautilo hasta la estructura de una flor.

La media de oro fue utilizada ampliamente por los antiguos maestros de la pintura. Aquí hay un gran artículo que habla sobre muchos de estos ejemplos: Golden Ratio en la composición y diseño de arte.

En el trabajo de Leonardo Da Vinci, La última cena, por ejemplo, tanto la composición general como los detalles más pequeños de la pintura reflejan este ideal de proporción. De esta manera, se convierte en una especie de construcción fractal en sí misma, macro y micro. Es realmente asombroso lo mucho que se pensó en la composición de estas obras maestras.

El Golden Mean también se ve mucho en la geometría sagrada, que últimamente ha tenido bastante éxito. Lo ves en estas construcciones:

Incluso los antiguos usaban estas proporciones, como se ve en el Partenón:

Visualmente, sentimos que una imagen o elemento que tiene dos mitades iguales es naturalmente discordante. Es como si las dos mitades estuvieran luchando entre sí por el dominio. Cuando se utiliza la media de oro, entonces hay una clara dominación visual y subdominio. Esto es naturalmente agradable de ver y parece resonar con nosotros internamente.

Answer 4

• En realidad, hay dos números dorados: [math] \ phi \ approx 1.618 [/ math] (la media de oro) y [math] \ Phi \ approx 0.618 [/ math] (la proporción de oro).
• [math] \ phi-1 = \ frac {1} {\ phi} = \ Phi [/ math]. Estos (y sus opuestos) son los únicos números reales que se diferencian exactamente de sus recíprocos.
• [math] \ phi [/ math] y [math] – \ Phi [/ math] son ​​las soluciones distintas de [math] x ^ n + x ^ {n + 1} = x ^ {n + 2} [/ math ] para todos los enteros positivos n. En otras palabras, cada vez que tenga una secuencia geométrica con términos consecutivos que se suman al siguiente término, los términos son múltiplos constantes de potencias de [math] \ phi [/ math] o [math] – \ Phi [/ math].
• El número n de Fibonacci viene dado por [math] \ frac {\ phi ^ n – (- \ Phi) ^ n} {\ sqrt {5}} [/ math]. Cualquier secuencia de Lucas se puede administrar como una combinación lineal de [math] \ phi ^ n [/ math] y [math] (- \ Phi) ^ n [/ math].
• La representación de fracción continua de [math] \ phi [/ math] es [math] [1; 1,1,1,1, \ dots] [/ math].
• [math] \ phi [/ math] y [math] \ Phi [/ math] son, en un sentido muy estricto, los números más irracionales.
• Todas las caracterizaciones anteriores son equivalentes, y cada una caracteriza completamente los números dorados por implicación.
• Hay una función de la forma [math] a \ cdot x ^ \ phi [/ math], cuya derivada es su propia función inversa, gracias a la segunda propiedad de [math] \ phi [/ math] arriba y la regla de poder de derivados. El valor de a se deja como ejercicio.
• La secuencia de los mejores aproximantes racionales para [math] \ phi [/ math] es [math] 1, 2, \ frac {3} {2}, \ frac {5} {3}, \ frac {8} {5} , \ puntos [/ math]. En otras palabras, las razones de los números de Fibonacci consecutivos. (Sus recíprocos son los aproximantes de [math] \ Phi [/ math].) Debido a que es el número más irracional, todos ellos son muy malos, y el error disminuye muy lentamente a medida que el denominador aumenta.
• La media de oro es la primera en una secuencia de “números más irracionales”, cada uno ligeramente menos irracional que el último, pero más irracional que todos los números irracionales que no están en la secuencia. Estos se llaman medios de plata. El segundo, llamado la media de plata, es [math] 1+ \ sqrt {2} [/ math]. Es el único número real positivo que es dos más que su recíproco, por lo que tiene una fracción continua [math] [2; 2,2,2,2, \ dots] [/ math]. Su secuencia correspondiente es 2, 5, 12, 29, 70, etc. Debe quedar bastante claro cuál es la recurrencia aquí.
• La base de logaritmos [math] \ phi [/ math] se muestra en muchos algoritmos. La sección dorada puede ubicar el minimizador l de una función (dentro de [math] \ epsilon [/ math]) a lo largo de una línea usando [math] a \ log_ \ phi (\ frac {l} {\ epsilon}) [/ Matemáticas] evaluaciones de esa función. El algoritmo de ordenación de Timsort de Python debe almacenar [math] a \ log_ \ phi (n) [/ math] sin combinar en una matriz aleatoria de longitud n cuando n va al infinito. La estructura de datos de Fibonacci Heap tiene una profundidad y una anchura proporcional a [math] \ log_ \ phi (n) [/ math] cuando se almacenan n elementos.
• Hay aproximadamente [math] \ phi [/ math] kilómetros en una milla (y [math] \ Phi [/ math] millas en un kilómetro), por lo que la conversión entre los dos es fácil si puede representar la distancia como una suma de Números de Fibonacci. Simplemente reemplace todos los números por su sucesor / predecesor en la secuencia y agréguelos nuevamente.

Answer 5

Por lo que he encontrado en Búsqueda de Google: pétalos de flores, piñas, galazias espirales, conchas marinas, huracanes, rostro humano son algunas cosas que están alineadas con la proporción de oro o las series de Fibonacci.
Fuente: 15 ejemplos extraños de la proporción áurea en la naturaleza.

Pero estos ya son conocidos por muchos, por lo que viajé en el tiempo para hacerle esta pregunta a Leonardo Da Vinci, y dijo: “Si alguien sabe la respuesta a esta pregunta, ¿cómo se llamará eso a los hechos que aún no se conocen como se indica en la pregunta? ”

Answer 6

Existe una estrecha relación entre la proporción de oro y la secuencia de Fibonacci .

Si observa más de cerca las proporciones de un número de fibonacci y su anterior, encontrará que converge en una proporción de oro. De hecho, cuanto mayor es el número, más nos acercamos a la proporción de oro .

Por ejemplo, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.66, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625 …… y así sucesivamente.

Answer 7

Puede calcularlo usted mismo comenzando con cualquier número y siguiendo estos pasos:

• A) divide 1 por tu número (= 1 / número)
• B) añadir 1
• C) ese es tu nuevo número, comienza de nuevo en A

Con una calculadora, simplemente siga presionando “1 / x”, “+”, “1”, “=”, alrededor y alrededor. Comencé con 2 y conseguí esto:

Número 1 / Número Añadir 1
2 1/2 = 0.5 0.5 + 1 = 1.5
1.5 1 / 1.5 = 0.666… 0.666… + 1 = 1.666…

y si sigue así, finalmente obtendrá la proporción áurea, es decir, 1.61803398875

Answer 8

[math] \ phi: = 1 + \ sqrt5 [/ math] es el “número más irracional”. Como se explica en math.stackexchange [¿Por qué $ \ varphi $ se llama “el número más irracional”?], El hecho de que es imposible aproximar [math] \ phi [/ math] por los racionales [math] p / q [/ math] con “pequeño” [math] q [/ math] (en relación con el error [math] | \ phi-p / q | [/ math]) implica que [math] \ phi [/ math] es “muy irracional “(ya que implica que está” muy lejos incluso de los racionales más cercanos “.)

Por supuesto, [math] \ sqrt5 [/ math] tiene las mismas propiedades, al igual que [math] 1- \ sqrt5 [/ math], pero ellas (y cualquier otro número que sea tan irracional como [math] \ phi [ / math]) son todas las transformaciones racionales de [math] \ phi [/ math], lo que quiere decir que tienen la forma [math] \ frac ab + \ frac cd \ phi [/ math] para algunos racionales [math ] \ frac ab, \ frac cd [/ math]. Entonces, en lo que se refiere a la racionalidad, son básicamente lo mismo.

Answer 9

Existe una estrecha relación entre la proporción de oro y la secuencia de Fibonacci . Si observa más de cerca las relaciones de un número de fibonacci y su anterior, encontrará que converge en la proporción de oro. De hecho, cuanto más grande es el número, más nos acercamos a la proporción de oro . Por ejemplo, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.66, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625 …… y así sucesivamente.

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El más interesante, en mi opinión, es un descubrimiento, que no aparece en la naturaleza como mucha gente piensa …