Los métodos utilizados para resolver el problema son más interesantes que solo resolverlos en sí mismos. Wiles no probó toda la conjetura de modularidad (teorema de modularidad – Wikipedia). Demostró parte de eso que fue suficiente para probar el último teorema de Fermat. Pero el método que usó podría ser generalizado por otros para demostrarlo en su totalidad.
El teorema de modularidad es de interés de una manera más obvia, porque nos dice algo acerca de las ecuaciones cúbicas en dos variables en general.
La mayoría de las personas en la escuela aprenden algo de álgebra, suficiente para tratar con ecuaciones lineales (ecuaciones de grado uno) en una variable. Tratar con ecuaciones lineales en varias variables requiere un poco más de trabajo, pero los principios son muy similares. Resolver ecuaciones cuadráticas (grado dos) en una variable es un tema común. Parece que el tiempo dedicado a las secciones cónicas (dado por las ecuaciones del grado dos en dos variables) no se ha mantenido consistente con los cambios en el currículo, pero solía considerarse un tema clásico de las matemáticas elementales. Se habló un poco sobre las superficies cuadráticas.
¿Cuál podría ser un próximo tema natural? Resolver las ecuaciones cúbicas en una variable que no tiene en cuenta los coeficientes racionales fue más importante en el siglo XVI que ahora. Resulta que el siguiente paso en esta progresión, las curvas cúbicas en el plano (en dos variables) abre un mundo de problemas más sutiles. Dada una curva cúbica no singular con un punto designado en ella, se puede definir una curva en el espacio proyectivo conocida como curva elíptica (curva elíptica – Wikipedia). (De alguna manera los singulares son más simples.)
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El teorema de modularidad nos dice que cada curva elíptica tiene una parametrización especial. Un ejemplo mucho más simple de una parametrización es la parametrización racional del círculo [math] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ math] dado por [math] (x, y) = ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2), 2t / (1 + t ^ 2)) [/ math]. Esa parametrización pierde el punto [math] (- 1,0) [/ math] pero ese es el punto que corresponde en cierto sentido a dejar que [math] t [/ math] vaya al infinito. Todos los otros puntos en el círculo que tienen coordenadas racionales corresponden a valores racionales de [math] t [/ math]. Los puntos racionales [math] (a / c, b / c) [/ math] están asociados con los triples pitagóricos, [math] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ math], y la parametrización racional le permite Encuentra todos los triples pitagóricos sistemáticamente. La parametrización modular de una curva elíptica es más técnica, pero es básica para la teoría de las curvas elípticas.