¿Cómo es la prueba del Último Teorema de Fermat beneficiosa para la humanidad?

Los métodos utilizados para resolver el problema son más interesantes que solo resolverlos en sí mismos. Wiles no probó toda la conjetura de modularidad (teorema de modularidad – Wikipedia). Demostró parte de eso que fue suficiente para probar el último teorema de Fermat. Pero el método que usó podría ser generalizado por otros para demostrarlo en su totalidad.

El teorema de modularidad es de interés de una manera más obvia, porque nos dice algo acerca de las ecuaciones cúbicas en dos variables en general.

La mayoría de las personas en la escuela aprenden algo de álgebra, suficiente para tratar con ecuaciones lineales (ecuaciones de grado uno) en una variable. Tratar con ecuaciones lineales en varias variables requiere un poco más de trabajo, pero los principios son muy similares. Resolver ecuaciones cuadráticas (grado dos) en una variable es un tema común. Parece que el tiempo dedicado a las secciones cónicas (dado por las ecuaciones del grado dos en dos variables) no se ha mantenido consistente con los cambios en el currículo, pero solía considerarse un tema clásico de las matemáticas elementales. Se habló un poco sobre las superficies cuadráticas.

¿Cuál podría ser un próximo tema natural? Resolver las ecuaciones cúbicas en una variable que no tiene en cuenta los coeficientes racionales fue más importante en el siglo XVI que ahora. Resulta que el siguiente paso en esta progresión, las curvas cúbicas en el plano (en dos variables) abre un mundo de problemas más sutiles. Dada una curva cúbica no singular con un punto designado en ella, se puede definir una curva en el espacio proyectivo conocida como curva elíptica (curva elíptica – Wikipedia). (De alguna manera los singulares son más simples.)

El teorema de modularidad nos dice que cada curva elíptica tiene una parametrización especial. Un ejemplo mucho más simple de una parametrización es la parametrización racional del círculo [math] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ math] dado por [math] (x, y) = ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2), 2t / (1 + t ^ 2)) [/ math]. Esa parametrización pierde el punto [math] (- 1,0) [/ math] pero ese es el punto que corresponde en cierto sentido a dejar que [math] t [/ math] vaya al infinito. Todos los otros puntos en el círculo que tienen coordenadas racionales corresponden a valores racionales de [math] t [/ math]. Los puntos racionales [math] (a / c, b / c) [/ math] están asociados con los triples pitagóricos, [math] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ math], y la parametrización racional le permite Encuentra todos los triples pitagóricos sistemáticamente. La parametrización modular de una curva elíptica es más técnica, pero es básica para la teoría de las curvas elípticas.

Hace aproximadamente 2300 años, Euclid escribió una prueba de que el número de números primos es infinito. También escribió un algoritmo para determinar el mayor divisor común de dos enteros.

Por supuesto, el estudio de los números primos y la factorización es totalmente inútil. Interesante, pero inútil. La teoría de los números en general siempre fue considerada como la rama de las matemáticas más hermosa y más alucinante.

Luego, en la década de 1980, los investigadores inventaron la criptografía de clave pública, que depende fundamentalmente de los avances en la teoría de números y la factorización. La teoría numérica ahora subyace a la seguridad de todas las transacciones financieras de Internet.

Y los algoritmos son, por supuesto, el paradigma dominante de nuestra era. Todo es un algoritmo en estos días. Resulta que los algoritmos pueden jugar al ajedrez y conducir coches.

Entonces, la respuesta a su pregunta es … lo sabremos en un par de miles de años o quizás más. Nunca se sabe cuándo un campo de las matemáticas pasará de ser inútil a útil.

No lo es No quiero insultar a mis colegas de la Ivy League que han pasado la mitad de sus carreras en busca de inútiles pruebas de 350 años de antigüedad que pueden no haber existido en primer lugar. La cuestión con muchos matemáticos (me refiero a matemáticos teóricos profesionales , que no deben confundirse con los maestros y profesores de matemáticas cotidianos) es que su educación, permanencia y medios de vida se basan completamente en la investigación, si no están probando nuevos teoremas cada pocas semanas, entonces ¿Cómo pueden justificar sus trabajos, su permanencia e incluso sus títulos de doctorado?

Por cierto, NO estoy diciendo que los doctorados sean inútiles, ni estoy diciendo que adquirirlos no sea un logro monumental. Quienes pueden hacerlo son personas increíblemente inteligentes y es algo que nunca podría hacer. Simplemente digo que ALGUNOS de ellos carecen de una perspectiva del uso de las matemáticas en la sociedad; simplemente elijo centrarme en lo práctico.

¡He tomado clases de nivel de postgrado impartidas por profesores que han persistido en perder dos horas de nuestras vidas garabateando pruebas crípticas que ocupan dos pizarras enteras sin siquiera explicar sus pasos o por qué incluso lo estaban haciendo en primer lugar! (Perdón por la ventilación, esto trae recuerdos horribles). Pero si va a persistir en la prueba simplemente por el bien de la prueba, entonces hágalo en su propio tiempo y deje de gastar recursos de los contribuyentes en teoremas de los que nadie ha oído hablar y aún menos de atención.

Caramba, no lo sé. ¿Cómo es la Mona Lisa beneficiosa para la humanidad? ¿Cómo es el David de Miguel Ángel beneficioso para la humanidad? ¿Cómo es la Novena Sinfonía de Beethoven beneficiosa para la humanidad? ¿Cómo beneficia Hamlet a la humanidad?

Ninguna de estas cosas alimenta a nadie, ni proporciona atención médica ni refugio. Pero hacen del mundo un lugar mejor. Por supuesto, es una pena que menos personas puedan apreciar el logro intelectual creativo de una prueba matemática.

Incluso si un descubrimiento matemático no tiene una aplicación obvia para las ciencias aplicadas, sigue siendo beneficioso para la humanidad desarrollar su comprensión de las estructuras matemáticas y conquistar preguntas increíblemente difíciles. El hecho de que el teorema de Fermat no se probara hasta 1995 demuestra cuánto se han desarrollado nuestras técnicas y herramientas desde el siglo XVII cuando se propuso por primera vez. También demuestra que una pregunta aparentemente simple no siempre tiene una respuesta simple.

Además, pruebas complejas e innovadoras, como la prueba de Wile del último teorema de Fermat, contribuyen a la comprensión profunda de cómo funcionan los objetos matemáticos y (según su filosofía) la naturaleza de nuestra realidad. Las revelaciones que se obtienen al buscar estas pruebas son a menudo mucho más importantes que determinar realmente el valor de verdad de una declaración como [math] x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n} [/ math] no tiene soluciones enteras para [math] n \ geq 3. [/ math]

Soy solo un estudiante universitario, ni siquiera estoy preparado para comprender la profundidad de la prueba de Wiles, pero el hecho de que se requiera un argumento tan complejo y técnico para comprender completamente la afirmación anterior es muy emocionante e inspirador para mí.

Al igual que muchos resultados en matemáticas puras, el resultado no es importante per se. Lo que importa son los métodos, técnicas y estrategias desarrolladas para derivarlo. Para ser súper técnico, Wiles prueba realiza el primer paso del llamado programa Langlands. Ahora lo busca en Google o espera el comentario de Alon Amit; =))

En cuanto a algunas de las pruebas fallidas en el siglo XIX, activaron las nociones de ideales en campos numéricos (a través del problema de la factorización única) y, más generalmente, de ideales en anillos abstractos.

Se probaron muchos teoremas y se desarrollaron teorías durante la prueba del teorema anterior de Fermats. Así que en general el trabajo hizo grandes avances.

El último teorema de Fermat
¿Cuál es el último teorema?
El teorema de Pythogaras es útil en el mundo real, pero no creo que el teorema de Fermats sea directamente útil